矩阵图怎么画(矩阵图形)

今天我想分享一个简单的想法，既不新奇，也不花哨。甚至很多人都有过这种想法。但是不管你想没想过，我希望你能抽出几分钟和我一起再感受一下这个想法。

想法是这样的:

这个想法很简单，但是很实用。

首先，严谨地总结了这一思想:每个矩阵对应一个加权二部图。所谓“图”，是指顶点(点)和线的集合；“二分法”是指指针有两种不同的类型/颜色；；“加权”是指每一行都有一个数字标记。

上图对应一个3×23×2的矩阵M，我在右边画了三个绿点，对应矩阵M的三行，两个粉点对应矩阵M的两列，如果对应矩阵M中的值不为零，在绿点和粉点之间画一条连线。

比如第二个绿点和第一个粉点之间有一条线，因为M_21=4，也就是矩阵M第二行第一列的值不为0。另外，我用非零数字标记了这一行。第一个绿点和第二个粉点之间没有连线，因为矩阵第一行第二列的值为零。

更清晰的描述如下:

任何矩阵m都是n×m个数的数组。当然，这是常识。但这样的数组也可以看成函数M: x× y→ r，其中X = {x_1，...，x_n}，它是n个元素的集合；Y = {y_1，...，y_m}，它是m个元素的集合。其实如果要描述矩阵M，需要描述ij项的值。换句话说，对于每一对(I，j)，需要给出一个实数M_ij。这就是功能！函数m: x× y→ r关联每一对(x_i，y_j)(如果愿意，可以去掉字母，看成(I，j))，即实数M(x_i，y_j)。所以M(x_i，y_j)可以缩写为M_ij。

看，矩阵是一个函数。

如前所述，我们进一步认为X的元素是绿点，而Y的元素是粉点。那么矩阵M对应于加权二部图的方式如下:图的顶点有X和Y提供的两种不同颜色，每个x_i和y_j之间有一条连接线，用数字M_ij标记。但如果值为零，则忽略此边。

每个矩阵对应一个图。

当我们以这种方式想象矩阵时，神奇的事情发生了。例如...

矩阵乘法是沿着连接线的正向运算。

给定两个矩阵(图)M: X× Y→ R和N: Y× Z→ R，我们可以通过把它们的图拼接在一起并沿着连线做乘法运算:MN的ij项的输入，即x_i到z_j连线的值，是沿着x_i到Z _ J的所有边相乘并相加得到的，例如:

对称矩阵对应于对称图。

如果一个矩阵等于它的转置，则它是对称矩阵。这种对称性通常通过矩阵对角映射来获得。但是现在可以从图中观察到对称性。特别是对于任意矩阵m，下图直观的解释了为什么MM^⊤和MM总是对称的！

如果矩阵的所有项都非零，则它对应于一个完全二部图。

如果矩阵的所有元素都不为零，那么它对应的图没有缺失连接。这意味着X中的每个点都与y中的每个点相连，这样的二部图称为完全二部图。

n块矩阵对应于n个独立的图。

具体来说，通过直和获得的块矩阵对应于不连通图。做两个矩阵的直和得到一个更大的数组(类似向量直和)，也就是一个全零块的大块矩阵。分块矩阵的图形是通过叠加原始矩阵的图形而获得的。

矩阵和图我们可以多讨论一些，但我想换个角度讨论。事实证明，概率非常适合我们的矩阵图讨论。这是通过另一个有趣的小事实实现的:

例如:

这样的概率分布图可以让我们更好的分析。

联合概率

通过连接架构图中的线，可以得到联合概率:(x_i，y_j)的概率是连接x和y两点的线的标号。

边缘概率

边际概率是通过对矩阵中的行/列求和得到的(相当于上图)。比如x_1 p (x _ 1) = p (x _ 1，y _ 1)+p (x _ 1，y _ 2) = 1/8+0的概率，就是第一行的和。同理，y_2的概率为P (Y _ 2) = P (X _ 1，Y _ 2)+P (X _ 2，Y _ 2)+P (X _ 3，Y _ 2) = 0+1/8+1/4，为第二列之和。

图中x_i的边际概率是以x_i为顶点的所有连线之和。同样，y_j的边际概率是以y_j为顶点的所有连线之和。

条件概率

该条件通过将联合概率除以边际概率来获得。比如在y_2的条件下，x_3 p(x_3|y_2)=p(x_3，y_2)/p(y_2)的概率。从图中可以看出，这是用x_3和y_2之间的连线除以与y_2相连的所有连线之和得到的。同样，y_i下x_j的条件概率是连接两点的线的值除以连接x _ j的所有线的和。

很简单吧？

这里的edge原理并不复杂，只是有时候用一个新的角度去看待旧的观念还是很有用的。

关系矩阵

在本文的最后，还有一个简单有趣的事实，就是矩阵运算在交际环中是有意义的。不只是像R或者C之类的。矩阵乘法甚至不需要负数:矩阵运算在交换半环上是有意义的！半环是没有倒数的环。)

我觉得很好，因为包含两个元素Z_2 = {0，1}的集合通过下图的加法和乘法形成了一个半环:

为什么这么好？因为一个矩阵M:X×Y→Z_2相当于一个“关系”。“关系”是笛卡尔积x× y的子集R的名字，换句话说，每个Z_2值矩阵定义一个“关系”，每个关系定义另一个Z_2值矩阵:当且仅当(x_i，y_j)是R子集的元素，M_ij=1，否则M_ij=0。

Z_2中的矩阵图与上面讨论的图完全相同，只是现在所有连接线的值都是0或1。如果权重为0，那么和之前一样，我们不画这条线。

(对了，你现在可以问“既然每个“关系”都对应着Z_2中的矩阵，那么“等价关系”对应的矩阵是什么？”我跑题了...)

通过将基本(半)环从R改为Z_2，我们改变了解释重量的方式。比如上面的概率场景，我们可以问“从x_1到y_1的概率是多少？答案来自于对应边的权重，本例中为12.5%。或者，当矩阵在Z_2取值时，问题就变成了:“有没有可能从x_1到y_1？如果连接标志为1，则为是；如果连接标志为0，则为否。这个想法已经解释过很多次了。

重要的是，“关系”的组合恰好是使用上述Z_2算法的矩阵乘法。换句话说，给定任意两个关系Rx× y和Sy× z，有一个新的关系SRX× z，包括所有的(x，z)，并且至少有一个y∈Y，其中(x，y)∈R，(Y，z) ∈ s。这个新的关系由R和S的矩阵乘积指定..

这个关于矩阵/关系的小事实绝对是我最喜欢的数学事实之一。一个原因是因为有限集的范畴，“关系”与有限向量空和线性映射的范畴非常相似。其实更像是有限维中Hilbert 空之间的一个范畴。这意味着许多看似不相关的想法突然变得密切起来。这些联系可以更精确，这是范畴论领域经常分享的故事。