反正切函数图像(反正弦函数定义域为)

在之前的文章《探索:为什么1/x，1/x 2曲线下的一个面积是无穷大，而另一个是1》中，我们从两个相似函数围成的面积得出了两个截然相反的结果，还得出一个重要结论:当x趋于无穷大时，虽然两个函数都趋于零，但变化较快的函数围成的面积是一个常值，变化较慢的函数围成的面积趋于无穷大。你在学习微积分的时候有没有注意到这个现象？

另外，我们继续扩展，用1/(x 2+1)代替1/x 2函数。当x接近无穷大时，它的面积是多少？先假设x为∞时1/x 2围成的面积存在，那么1/(x 2+1)围成的面积一定存在，因为1/x 2 = 1/(x 2+1)是无穷大。

/x ^ 2的函数图只有右面积，但1/(x ^ 2+1)的分母中有一个1，以避免分母为0的可能，所以1/(x ^ 2+1)的图包含对称的两边。也就是说，一个均匀的函数

我们继续分析1/(x 2+1)在无穷远处的情况。如果参考积分表或者精通无穷级数，一眼就能看出它是一个特殊的积分:它是tanx的反函数，也就是反正切函数。

首先，当tanx=0时，x必须等于0。那么当tanx=∞时，根据你初高中的知识，马上就可以得到x=π/2。

或者你可以换个角度理解:tanx=sinx/cosx。什么情况下斜率tanx最大？sinx=1，cosx=0时一定最大，所以x=π/2。

当x被t代替时，曲线下的面积为π/2。为了获得另一半面积趋于负无穷大，又因为这是一个偶函数，关于y轴对称，所以1/(x 2+1)围成的整个面积是π。

你会惊讶的发现它的面积居然和π有关，我们一般只有在处理圆周问题时才会看到π，但这里是没有圆周的，这是数学中令人惊叹的神秘的例子之一。你会惊讶地发现，它的面积其实和π有关。一般我们在处理圆的问题时只看到π，这里没有圆。这是数学中令人惊叹又神秘的例子之一。

让我们看另一个例子。下面显然涉及到渐近线，渐近线分为水平渐近线和垂直渐近线。

如果我们把垂直渐近线移到右边，T这里可以代替任何值。注意能否从这里找出如何求函数的渐近线，即当X趋于∞，对应的Y值是一个常数，那么这个常数就是X的水平渐近线，反之亦然。

可以看到，当x=2时，y的值趋于无穷大，所以x=2就是y的垂直渐近线。

这个函数和上面的不一样。只有当x取特定值时，整个函数才会处于无穷大状态。

经过简单的改变，就可以得到这个函数所围成的面积。

你会发现我们在无限环境中得到的积分面积和在有限区间中的积分性质是一样的，但是更能反映一个函数在无限环境中的真实情况和完整特征。这也体现在《无穷级数》中。

以上是一些习以为常的函数，也许没有引起你的注意，但这些不起眼的例子隐藏着丰富的数学知识。

给我的搭档留个思考题:1/(x 2+1)和1/x 2。虽然它们在趋于无穷大时是等价的，但是为什么从1到+∞时，1/(x 2+1)的曲线下面积大于1/x 2的曲线下面积，虽然两者之差小于1？

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