在数学领域，可能没有其他分支能像三角学一样始终占据中心地位。赫伯特

何家院

角代表什么？

在纸上画一个角，很容易发现这个角是由两条射线决定的，或者是由一条射线旋转形成的。旋转的幅度就是角度。

你心中有一个几何图形吗？

圆是怎么定义的？线段转一圈，轨迹是圆。

跟角圆有很大关系，角圆都是旋转形成的，但是形成圆的线的长度是固定的；形成一个角，只要是一条线。

跟圆角有什么关系？

是圆角的特例，但增加了三个限制:

转动主体是线段，而不是射线。也就是说转动的主体长度是有限的，是收敛的。在转动的过程中，线段的长度是不变的。转动幅度有限制，当转回原点时停止，也就是转了一圈。

第一个限制的效果是什么？

这样会让旋转的过程形成一个弯曲的轨迹。

这种限制产生了“收敛”效应。角和弧的关系就像射线和线段的关系。“弧”是通过向角度添加统一的距离限制而产生的。

所以很容易认为“弧”和“角”是对应的，“弧”只是收敛了“角”的发散形状。

第二个限制有什么影响？

这样会使旋转过程形成一个漂亮简洁的“圆弧”曲线。圆给人一种简单美好的感觉，因为它是均匀的，它上面各点到中心的距离都是一样的。没有这个限制，轨迹可能会很乱。

第三个限制有什么影响？

刚转了一圈。如果从静止的角度看，平面上最大的角度就是圆对应的角度，其他任何角度都可以用圆来表示。

自然，“圆角”要以“角”为单位等分；因为圆是一种变化均匀的简单美观的图案，所以在研究角度的时候经常会放入圆中研究。

所以“圆”是研究“角度”的平台，早期的三角学是以“单位圆”为基础的。传统上把“圆”的特殊角度称为“圆角”。

你如何测量角度？

最常见的单位是右上角带小圆圈的“度”。把一个圆角分成360等分，每等分称为1。

其实仔细想想，很奇怪，因为其他公制单位都不在360，角度却在360。这到底是怎么回事？具体原因不得而知，但我们能知道的是，这个表达方式最早是巴比伦人用的，他们的公制正好是60，可能和这个有关系。[3]

弧度是怎么出现的？有什么好处？

在数学和物理中，我们通常用弧度来代替角度。国际单位制中使用的弧度(rad)。

之所以用弧度，是因为“弧”是双面的。从测量的角度来看，是“线”，可以用“长度”的公制度量来描述，但本质上属于旋转，因为弧是由角度限制距离形成的，几乎是一回事。

所以直接用单位圆的弧长(r=1)来描述角度，非常兼容国际单位。在弧系下，公式变得非常简洁，所以在数学和科学中弧系是最主流的。

比如用弧度来描述半径为R的圆的周长S为:s=rθ，因为弧度θ是单位圆的弧长。我们要描述的是半径为R的圆，自然是R×θ；如果用角度来描述就麻烦多了，s= πrθ/180。

为什么这么麻烦？

一个圆的周长是2π，所以2π = 360，1弧度是180/π，所以

是圆弧圆的一部分，所以在描述一个最基本的图形——圆的时候，非常简洁；而且角度你也占不了什么便宜。

弓弦

即使是圆弧系统，也很难知道角度的具体度数。如果角度很小，就画在一张纸上，然后简单的用尺子量一下。

但是如果要建一栋楼，怎么保证墙的倾斜角度一致呢？

如果把尺度稍微放大，以前的角度测量方法就不行了，所以我们迫切需要一种更简单的角度测量比较方法。

那为什么不直接测量弧长呢？

因为圆弧是曲线，所以曲线的长度不好测量。在这种情况下，我们很自然地会认为，如果曲线不好，可以用直线来衡量。

这个想法是如此的自然，以至于全世界几乎所有的古文明都想到了弦的概念。我们中国人以弓弦命名这根弦；西方人用和弦。[4]

怎么通过弦长知道角度？

圆弧的角度变化和长度变化是对应的。它们都是旋转的结果，都是成比例的，所以它们之间的关系就是比例函数(线性函数):

。如果半径确定了，那么角度和弦长就对应了。

但是，台词和他们不一样。线是延长的，角度是旋转的，所以长度的增加和角度的增加之间没有简单的比例关系。

定量描述不容易，定性描述就简单多了。

当半径确定时，如果两个弦长相同，则角度也相同。或者通过半径与弦长之比(两条线段)[2]，可以定性判断角度是否相等。

金字塔中的▌原始三角学

如果你仔细看金字塔的图片，你会发现它实际上是一个完美的正方形金字塔。对于4000年前的人来说，在建造过程中要保持墙体的倾斜度一致似乎并不容易。他们是怎么做到的？

这座有着4000年历史的金字塔有许多谜团，但幸运的是，我们已经知道了这个问题的答案。

金字塔的秘密是如何被揭示的？

因为发现了一本古埃及数学教科书，最后一个问题与数学密切相关，所以这本书就是《莱因德数学纸莎草》，这是已知最古老的数学文献，内容最广泛。问题56到60都是关于金字塔的。[1]

金字塔高250肘，底座长360肘。它的“Secter”是什么？

“塞彻”是什么意思？

从后面的解来看，“Secter”是金字塔的高度h与边长的一半a/2的比值。知道了这两条线段的长度，就确定了倾斜角θ。

那么它是如何工作的呢？

之所以通过测量底边的高度和长度而不是斜边来比较倾斜角，是因为后两个量在施工中容易获得。

如果你仔细观察金字塔的图片，你会发现它的表面不是光滑的，而是阶梯状的。每施工一个台阶，就会知道台阶的高度δh，从顶部吊一根绳子就可以测出δh对应的底边长度δa，从而计算出“Secter”，保证这个值与期望值一致，从而保证施工质量。

在建造金字塔时，保证倾斜角度相等就是通过两条线段测量和计算角度的过程。

古埃及人用三角学建造金字塔，而中国人用它来计时。

日晷需要测量的是太阳与地平线之间的角度。当日晷规的长度已知时，测量其阴影的长度。太阳的角度知道了，后面对应的时间就知道了。

原始的三角学不仅允许建造金字塔，也允许后来的法老知道金字塔有多高。

测量金字塔高度的过程就是通过一条线段的角度和长度计算另一条线段的长度的过程。

摘要

角的度量：角的常用单位有两个，角度是等分周角360份产生的；弧度是圆弧的长度。弧度在科学中更常用，因为会让公式更简洁。圆弧和角的关系：圆弧是角均匀收敛产生的轨迹。原始三角学：祖先们意识到了角度和长度之间是有关系的，并且利用这种关系来计时和建造金字塔，但是他们的认识仅限于定性。

给…作注解

[1]其实一开始人们并不知道上面的文字代表什么，因为埃及象形文字早就失传了，没有人看得懂。用文字破译后，可以翻译大量的埃及文献。象形文字的破译是另一个传奇故事，一个关于托马斯·杨、商博良和罗塞塔石碑的故事。

[2]任意两条线段都可以看作圆的半径R和弦S。半径决定圆的大小后，弦决定旋转角度。值得注意的是，我们几乎所有的讨论都是在“单位圆”(比例)中进行的，为的是排除“半径不确定性”(等比例放大)的干扰因素，直接讨论这种关系的本质。这种思维方式很像科研中的“控制变量”。

[3]时间单位也是十六进制，大概是因为钟是圆的。

[4]“正弦”不是这里的“弦”，后面会讲到。

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