什么是有理数和无理数(数学书上的诡异照片)

大家在中学都学过有理数和无理数。这里有一些数字。你能一下子分辨出是理性还是非理性吗？

怎么样？是不是很简单？

但是，你有没有想过，为什么把这两个数叫做“有理数”和“无理数”？你认为他们分别指的是“合理的数字”和“不合理的数字”吗？今天，我们来谈谈“有理数”和“无理数”的名称由来。

1 有理数

有理数是整数和分数的总称，整数可分为正整数、负整数和零。

而整数总是可以写成这样的形式，其中是整数(零可以写成)。

所以有理数就是可以转换成两个整数之比的数。在希腊语中，有理数的意思是“比例数”。在英语中，它以ratio为词根，在词尾加上-nal构成形容词。它的全称是有理数。直译成中文，应该是“可比数”。

那么，为什么我们今天学习的名称不是“可比数”，而是“有理数”？这是由于在漂洋过海的过程中对数学知识的“误读”，这是东西方数学文化传播中著名的乌龙事件。

有理数的概念起源于西方几何元素在中国明代，从西方传入中国。明末，数学家徐光启和学者利玛窦用拉丁文翻译了《几何原本》的前六卷。他们把()这个词翻译成“理”，这里的理是指它的本义“比”。

徐光启与利玛窦

日本明治维新之前，欧美数学名著的翻译大多使用中国文言文的翻译。所以日本学者直接把中国文言文中的“真”翻译成“真”，而不是用文言文解释的“比”。后来日本学者直接用错误的理解翻译了“有理数”和“无理数”。

明治维新后，日本数学发展迅速。清末，近代处于落后地位的中国不得不派留学生到日本留学，中国留学生把自己的错误寄回国内，意思是“出口国内”，于是“有理数”就一字不差地流传下来，沿用至今。

2 无理数

有理数听起来就像“有理数”，这在古希腊会非常流行，尤其是对于毕达哥拉斯学派来说，他们奉行“万物皆有数”，把(有理数)作为宇宙万物的本源。他们认为，万物的本质是由数量关系决定的，万物按照一定的数量比例形成和谐的秩序。

毕达哥拉斯（约公元前580年~约公元前500年）毕达哥拉斯(约公元前580年~约公元前500年)

但是毕达哥拉斯学派的学生希帕索斯发现正方形的对角线和边长是不可公度的(即两者的长度之比不能表示为整数之比)。无理数的发现对毕达哥拉斯哲学造成了毁灭性的打击，发现真理的希帕索斯被毕达哥拉斯学派的弟子扔进了大海，处死。所以很多中学老师告诉学生，希帕索斯因为发现了无理数而丢了性命，这种无理数是如此的不合理，以至于他发现的数被称为无理数。

但是，这个传说未必可信。毕达哥拉斯学派有很多严格而奇怪的规则，比如“没有豆子”，“东西丢了，不要用手去捡”等等。最重要的是，在毕达哥拉斯建立的群体中，财产是公有的，学派成员共享一种共同的生活方式。连科学和数学的发现都被认为是集体的，所以更可能的情况是——希帕索斯。

所以，认为无理数就是“无理数”，其实是一种误解。和有理数一样，无理数的命名也源于翻译问题。其实无理数的英文就是无理数，无理数的本义是“不可比”或者“无法按比例表示”。所谓“无理数”，不过是“不可比数”的误译。

无理数不能写成两个整数之比。最著名的例子就是证明它是一个无理数，其方法是归谬法。我们可以假设它是一个有理数，也就是可以写成两个互质整数之比。

规则

一定是偶数，所以一定是偶数。

规则

必须是偶数，必须是偶数，两者都是偶数。这个结论是荒谬的，因为我们已经假设它们是互质的，两个偶数不可能是互质的，它们至少有一个公因数2。所以假设不成立，用无理数证明。

3 生活中的无理数

其中，离不开无理数。比如你拿一张日常生活中随处可见的A4纸，它的长宽比大约是

而且对折后长宽比还是

坚持折叠，无论折叠多少次，总会得到“异形纸”！这个数字永远不会“折”！因为只有这个数字才有这种神奇的属性。

还有著名的黄金比例。

也是无理数，大量存在于绘画、建筑、艺术作品中。

我们还能说无理数是“无理数”吗？

参考文献[1]蒋勋，王树红。无理数不是无理数[J]。中学生数学与物理(8年级数学)(附人教社教材)2017(Z1):83。[2](英)罗素。西方哲学史[M]。商务印书馆，2016。[3]

来源:大小吴的数学课堂

编辑:荔枝，yrLewis