角加速度的方向(角加速度的方向指向圆心)

杂技演员走钢丝为什么要拿长杆？花样滑冰中如何调整旋转角速度？4月15日12点，《张朝阳物理教程》第45期上线。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐在搜狐直播间里。他从牛顿定律出发，推导出质点系的质心运动定律和角动量定理，并将角动量定理应用于刚体定轴转动。解释平衡杆在杂技表演中的作用和花样滑冰的速度调节原理；最后计算了长杆在重力作用下的摆动，阐述了长杆单摆与普通单点单摆的区别。

质点系质心运动定律:牛顿定律的简单叠加

之前的一系列直播课程都是围绕天体物理展开的，主要介绍太阳相关的知识。以后的直播课程会介绍中子星，其中一个就是中子星的自转。为后续课程做铺垫，本期张朝阳回归牛顿力学，介绍一些与转动相关的物理知识。

他从一个简单的两粒子系统入手，假设两个粒子的质量分别为m1和m2，它们各自的合力为:

其中字母G代表外力，H代表两个质点之间的相互作用力，下标21代表质点2对质点1的作用，下标12也类似。这里我们只考虑力H的方向平行于两质点连线的情况。利用牛顿第二运动定律F=ma，两个质点会产生两个方程，将它们相加得到组合运动方程:

将先前合力的表达式代入等式左侧，有:

其中，用删除线标记的两项由于牛顿第三定律而相互抵消。前述运动方程的右边可以写成:

公式中m为总质量，r_CM为质心坐标。这给了你:

这就是质心运动定律。这个结果可以推广到多粒子的情况。左边的方程是质点系的合力，右边是总质量乘以质心加速度。形式类似于牛顿定律。

质点系的角动量定理:总角动量变化率等于合力力矩。

张朝阳强调，质心运动定律虽然形式简单，但是丢失了系统的很多信息。“就像2×6=12，3×4=12”，如果只知道最后的结果是12，就无法确定是2×6还是3×4。质心运动定律丢失的信息包括系统的角动量信息。

(张朝阳推导质点系角动量定理)

首先，考虑单一物质点的情况。在某一时刻，以质点的位置矢量和质点的合力F所在的平面为x-y坐标平面，建立三维笛卡尔坐标。这时，质点的运动方程是:

分别考虑每个基向量的系数可以得到两个方程:f _ x = MD 2x/dt 2和f _ y = MD 2y/dt 2。

力f对质点的力矩为:

代入力和势向量的二阶导数之间的关系可以得到:

粒子的角动量定义为位置和动量的叉积，有:

考虑角动量对时间的导数；

与前面的扭矩公式相比，我们可以得到:

这就是单点的角动量定理。单位时间内角动量的变化等于力矩。

在单点角动量定理的基础上，张朝阳转而考虑两个粒子的情况。证明类似于质心运动定律，角动量定理应用于两个质点，公式可加得到:

力矩之和可以改写为:

最后一个等式成立是因为质点1的势矢量减去质点2的势矢量等于质点2对质点1的位置矢量，而且平行于力h_21，所以叉乘的结果是0。因此，单位时间内总角动量的变化等于外力矩之和。这个结论可以推广到多粒子的情况。如果τ代表外力矩，那么角动量定理可以写成:

或者写成:

角动量定理在刚体定轴转动中的应用

上面推导的角动量定理对所有满足要求的质点系都成立，所以也适用于刚体定轴转动。以刚体的旋转轴为Z轴建立柱坐标系，垂直于Z轴的坐标平面使用极坐标。考虑刚体上的一个小质量，把它当作第I个质点。它的角动量是:

在固定轴旋转的列坐标描述下，有:

角θ不标下标I是因为刚体的每一点(轴上的点除外)在定轴转动下的角速度都是相同的。在定轴转动的情况下，只需要考虑Z分量的角动量定理。将方程代入质点I的角动量公式，利用基矢量的叉积关系:

质点角动量的z分量可由下式求得:

质点I的角动量也包含径向分量，但基矢e_r对时间的导数与基矢e_θ成正比，对Z方向不会有任何影响。因此，在考虑角动量对时间的导数的Z分量时，可以忽略粒子I的角动量的径向分量。注意，刚体绕定轴旋转时，r_i不会随时间变化，所以刚体总角动量对时间的导数的Z分量为:

为了简洁起见，角动量的Z分量将简称为角动量。刚体的惯性矩定义为:

那么角动量随时间的变化率可以写成:

接下来，考虑质点I的外力矩:

所以:

这就是刚体定轴转动的角动量定理。

(张朝阳推导刚体定轴转动的角动量定理)

如果外力等于0，那么上式右边等于0。换句话说，Iω是一个常数，不随时间变化。这就是刚体角动量守恒定律。

张朝阳以花样滑冰运动员在冰上的旋转为例来说明。运动员旋转时做各种动作。虽然不能算刚体，但是角动量守恒还是成立的。运动员在冰面上的摩擦力可以忽略不计，重力和支撑力相互抵消，可以近似视为不受外力。运动员旋转时，如果手缩回，转动惯量公式中手对应的r_i会变小，所以运动员的转动惯量也会变小。因为角动量不变，运动员的角速度ω必然增大；相反，如果运动员的手伸出来，角速度会变小。

关于刚体定轴转动的角动量定理，张朝阳以一个拿着长杆的走钢丝者为例。杂技演员手中的长杆可以帮助他提高转动惯量，这样当他受到同样的力矩干扰时，有长杆的角速度变化会比没有长杆的小，杂技演员更容易恢复平衡。

作为刚体角动量定理的应用，他还计算了长杆单摆在重力作用下的运动。假设长杆的质量线密度为μ，长度为L，则它的惯性矩为:

唯一对长杆单摆的力矩有贡献的是重力。重力力矩是:

代入刚体的角动量定理，简化得到:

张朝阳强调，如果把长杆简单地看成一个质量集中在长杆质心的物体，得到的单摆方程就变成:

系数2和严格推导的3/2有很大的不同，不能简单地把物体的所有质量等同于质心。回到正确的单摆方程，虽然很复杂，不能简单求解，但当摆角较小时，sinθ约等于θ，在此近似下，有:

这个方程类似于谐振子的振动方程。所以小振幅长杆单摆的角频率是:

频率和周期是:

据了解，《张朝阳的物理课》每周五、周日12点在搜狐视频直播。网友可在搜狐视频“跟随流”搜索“张朝阳”观看直播，完成过往视频播放；关注“张朝阳物理课程”的账号，查看课程中“知识点”的短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上阅读每门物理课程的详细文章。