作者:马库斯·杜·索托伊

翻译:邢科伟校对:曾林成，【遇见数学】翻译组核心成员。

具有横向思维的数学家

数学家的横向思维能力很强。普林斯顿大学教授恩里科·邦比耶里(Enrico Bombieri)认为，如果存在不可逾越的障碍:“当事情难以解决时，通常最好停下来问问自己:我的问题是可解决的吗？”

第一个试图改变问题的人是一个十五岁的男孩，C.F .高斯，十九世纪初，由于一块小石头，高斯一夜之间成为科学界的新星。本世纪初伴随着一颗新行星的发现。幸运的是，人们在火星和木星之间发现了一颗行星，并将其命名为谷神星。它的路径已经被跟踪了几个星期，但当它经过太阳背面时就消失了。高斯的挑战是在收集的数据中找到规律。他给天文学家指出了可能看到谷神星的天空空区域。当然，他是对的。

但高斯不只是喜欢给星星空找规律，他也热爱数字。在他喜欢数字的所有东西中，质数是他最喜欢的珠宝。他年轻的时候有一本对数书，书的最后有一张定性表。奇怪的是，这两者现在联系起来了，因为高斯设法找到了它们之间的联系。

卡尔·弗里德里希·高斯卡尔·弗里德里希·高斯

高斯试图计算出有多少个质数，而不仅仅是预测哪些是质数。这就是最终解开质数秘密的横向思维。问:质数占所有数字的百分比是多少？他发现数字越大，质数越少。他制作了一个表格来记录质数比例的变化。

例如，1000之内，平均每6个数中就有一个质数。比如1000以内，平均每六个数字就有一个素数。

既然素数的分布看起来如此随机，也许掷骰子可以提供一个很好的素数分布模型。也许大自然用“质数骰子”来选择1000左右的质数。“质数”写在一面，其他五面空为白色。为了决定1000是不是质数，大自然掷骰子看它是否落在质数一边。当然，这只是一个启发式模型。一个数要么是素数，要么不是，但高斯认为这个“素数骰子”可能产生一个与真正的素数序列性质相似的数列。

当我们检查越来越大的数是否是质数时，骰子有几个面？对于1000左右的质数，大自然似乎用了六面骰子；对于1000000左右的质数，需要一个15面骰子。(所以伦敦的一个电话号码是质数的概率是1/15。)高斯发现，他的书开头的包含素数表的对数表为确定素数骰子上有多少个面提供了答案。

我们再来看看高斯对素数的统计。每当高斯把第一列的数字改成原来的十倍，最后一列记录骰子点数的数字就会增加2.3左右。这样，我们就得到了一个关于素数的定律。高斯意识到还有另一个功能相同的函数，可以把乘法变成加法。这是对数函数。

17世纪，苏格兰男爵约翰·纳皮尔首先发现了素数函数在数学中的重要作用。当时人们普遍认为纳伯与魔鬼结盟，因为他肩上扛着一只黑乌鸦，小笼子里关着一只蜘蛛，他在城堡里走着，喃喃自语着关于他的创世纪代数理论的预言。但今天，他因发明对数函数而被铭记。

当我们将数字N输入对数函数时，我们将输出一个数字。

它是下列方程的解。例如:

将输入乘以10，输出将增加1。

但是我们并不总是要选择10作为x的基数，我们选择10只是因为我们有十个手指。的不同对数函数可以有不同的基。每当输入乘以10，高斯的素数骰子函数的输出就会增加2.3。这个函数类似于对数函数。这个对数函数的底数叫做E = 2.7182828459。

高斯猜测一个数N是质数的概率是1/log(N)，其中对数的底是e，这是掷骰子log(N)面朝上，“质数”面朝上的概率。注意，当N变大时，log(N)也变大，在质数边缘上行的概率相应减小。随着数字的增加，素数的分布变得稀疏。

如果大自然掷出10万次素数骰子，不同面的骰子能得到多少个素数？如果骰子有固定的边数，比如6，那么得到的素数个数大约是100000/6，也就是1/6加起来是100000次的概率。现在高斯改变每个骰子的面的数量。得到的素数的个数应该是

这个素数猜想被细化为一个叫做对数积分的函数，用李(N)表示。高斯猜想与实数素数情况相比如何？我们可以看看左边的图表。红线是高斯用他的质数骰子得到的，蓝线记录的是质数的实数。

高斯的猜测并不完全准确。但是当数字越来越大的时候，就足够好了吗？最好的评估方法是记录百分比误差:看高斯对素数的预测和真实的差的百分比。

高斯认为，随着我们考虑的数字越来越大，百分比误差会越来越小。他不相信有什么可怕的惊喜在等着我们。他的猜想叫做:素数定理:百分比误差随着计数的增加越来越小。

我们有很多证据可以证明这一点，但是如何保证更大的N仍然符合这个规律呢？

1896年，比利时的Charles de la Valle-Poussin和法国的Jacques Hadamard证明高斯是正确的。但需要注意的是，这一规律的持久性并不明显。高斯也认为他的猜测总是高估了素数的个数。表格中的数据让这一点看起来绝对正确。但是在1912年，剑桥的数学家利特伍德证明高斯是错的。虽然高斯的猜想第一次低估了素数的个数，但那是在n大于哈勃体积中的原子数的时候——这绝不是实验能揭示的。

高斯发现了大自然用来选择质数的“质数骰子”。这些骰子的边数随着所选素数的增加而增加。边的数量像对数函数一样增加。现在的问题是确定骰子是如何落下的。就像一枚硬币很少直立落下一样，高斯至今也不知道这枚骰子是怎么落下的。

高斯的学生里曼发现，音乐最能解释如何从高斯猜想的图像中得到素数的实图像。正如我们将在另一篇文章中发现的那样，黎曼的音乐可以解释大自然的骰子是如何真正落下的。

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