全体实数包括哪些(全体实数符号)

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(一)游戏游戏

让我们玩一个游戏。下面有五排石头。白色的石头是我的，黑色的是你的。我们轮流拿自己的一块石头，规定如果拿了一块石头，后面的石头都要扔掉。谁不先拿谁就输了。

○●●○●●○●●○

●○○●○●●○●

○○○○

●●●○●●●

●

比如你先走，可以拿走第四排第三块石头。根据规定，第四排只剩下前两块石头:

○●●○●●○●●○

●○○●○●●○●

○○○○

●●

●

现在轮到我走了。我可以拿第二排倒数第二块石头，所以整个游戏变成这样:

○●●○●●○●●○

●○○●○●●

○○○○

●●

●

现在，如果你拿第二排的第一块石头(所以第二排没了)，那么我就赢了。我可以拿走第一行的第一块石头，这样整个游戏就只剩下最后三行了:

○○○○

●●

●

这三排有四块白石头和三块黑石头，每排都是同一种石头。于是整个局面完全变成了拼石头数量的游戏。我只需要把白石头一颗一颗的拿走，你就不可避免的要带头，别无选择。受此启发，我们很自然地想到了一种描述棋局的方法:将每颗白石记为+1，每颗黑石记为-1。所以○○○+●+●= 4–2–1 = 1，结果是正数，表示这种情况下我会赢，即使轮到我先走。

你会发现上面的说法很有道理。毕竟白石越多对我越好，给我带来的效用是正面的；而黑石会降低我获胜的希望。当然应该给它一个负值。四白三黑的结果是正1，也就是说我可以赢一步。如果游戏是这样的:

○○●●●●

那么○+●●●●= 2–4 =-2，这是一个负数，也就是说不管谁先走，你都可以赢，因为你可以比我多走两步。我们不妨称一盘棋对应的数为该盘棋的“特征值”。一个正的特征值意味着不管谁先走，我都能赢；一个负的特征值意味着不管谁先走，你都能赢；特征值的绝对值直接量化了赢家和输家之间的差距。现在，考虑下面的国际象棋游戏:

○○●●

那么○+●●= 2–2 = 0，说明此时的情况介于“我会赢”和“你会赢”之间。其实也是一样的——如果我先走，你再走，你就赢了；如果你先走，我后走，我就赢了。这是因为这个棋局的特征值是0，双方可以走相同的步数。当然，谁走的晚谁就赢。

真正有趣的事情发生了。考虑下面的国际象棋游戏:

○●

它的特征值应该是什么？很容易看出它的特征值是正数，因为不管谁先走，显然我都能赢。同时它的特征值要小于1，因为只有一个○比○ ●更胜一筹才能赢。其实黑方无论如何都会输，但有些时候黑方背后的一方可以松一口气。例如，下面的国际象棋游戏:

○●●

如果我先走，很明显你会赢。如果你先走呢？第一个人赢的难度比较大，你要好好思考自己的策略。你可以拿走单独带走的●但是当我拿走○,你必须看着你剩下的●一起被带走。此时，你可能会意识到，你本可以多走一步，但这一步却被浪费了。所以，你还是一上来就拿● after比较好。使用这种策略，很明显你会赢。可见，无论是我先走还是你先走，整盘棋都是你必须走，所以有○●+●=○●–1

○●
○●
●

如果我先走，本质上只有一条不同的路可走，局面马上变成你赢的局面，所以你就赢了。如果你先走呢？带走独自走的●会让你提前锁定败局。更好的选择是把●后面的某个拿走○第一，就像刚才那样，为自己多赢一步。现在，石头里只剩下三条线:○●、○、●。那么，我该拿走哪一个呢？拿着○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○掌握了这个技巧之后，我就可以赢了。总结一下，整个棋局就是谁走的晚谁就赢的局面。所以○●+○●+● = 0，也就是○●+○●–1 = 0，可以解出○●等于1/2。也就是说，在○●，我会以半步的优势胜出。相应的，●○等于-1/2，你就赢了半步。

注意，没有理论告诉我们这个加减是合理的。但是，我们发现这个加减法的结果真的是正确的。比如○●+○●+●= 1/2+1/2–1 = 1/2，还有棋局

○●

○●

○●

●

对我来说，真的是双赢！

这背后一定有更深层次的原因:棋局之间的加减法和数字之间的加减法一定有共同点。换句话说，为了解释“为什么象棋的加法和数字的加法如此相似”，我们需要证明它们具有完全相同的代数结构。我们需要建立一个从棋局到实数的映射规则，然后解释所有棋局(或所有棋局的一部分)与所有实数(或所有实数的一部分)同构。

正如庞加莱所说，诗歌的艺术在于给同样的事物起不同的名字，数学的艺术在于给不同的事物起相同的名字。两个看似不相关的东西同构，这是数学中最令人兴奋的事情之一。

(二)熟悉和陌生的算术

为了解释象棋是算术，我们必须首先定义什么是算术。我们需要站在系统之外，描述算术的本质。算术是一些数的加、减、乘、除的运算。这似乎对我们一点帮助都没有——什么是数，什么是加减乘除？其实数字只是一些有大小关系的元素，这些元素可以按照大小关系串成一条链。这意味着，首先，任何两个数在大小上可以比较，对于两个不同的数X和Y，X要么大于Y，要么小于Y..那么，大小关系一定是传递的。如果X小于Y，Y小于Z，那么X一定小于Z..从形式上讲，我们要求元素之间存在一种关系，暂时记为≤,这样它们满足:

完备性:对于任意X和Y，x ≤ y和y ≤ x中至少有一个成立。

反对称:对于任意的X和Y，如果x ≤ y，y ≤ x都为真，那么X和Y一定是同一个元素。(以后我们用符号x = y表示X和Y是同一个元素。注意这个新符号和≤的区别:前者是实符号，用来表达“同素”的概念；后者是我们想象的抽象符号，不一定有什么具体的含义。)

传递性:对于任意x，y，z，如果x ≤ y，y ≤ z都为真，那么一定有x ≤ z。

这样所有的元素都≤穿成一条绳。我们说这些要素构成了“共序关系”。

我们还需要元素之间的“加法”和“乘法”来满足一系列性质:

加法的闭包:对于任意X和Y，x+y仍然是一个元素。

接近乘法:对于任何X和Y，X，Y仍然是一个元素。

加法交换律:对任意X和Y，x+y = y+x

乘法交换律:对于任意x和y，x y = y x。

加法结合律:(x+y)+z = x+(y+z)对于任意x，y，z。

乘法结合律:(x y) z = x (y z)对于任意x，y，z。

乘法到加法的分布规律:对任意x，y，z，x (y+z) = x y+x z。

存在加法单位:有一个特殊的元素，通常记为0，这样对于任意X，就有x+0 = x

存在乘法单元:有一个特殊的元素，通常记为1，这样对于任意X，都有X.1 = X。

有一个加法逆元:对于任意一个X，总能找到一个特殊的元素，通常标记为-x，这样x+(-x) = 0。

乘法有一个逆元素:对于任何不为0的X，总能找到一个特殊元素，通常记为x-1，这样X X-1 = 1。

对于任意的x，y，z，如果x ≤ y，那么一定有x+z ≤ y+z

对于任意的x和y，如果0 ≤ x和0 ≤ y都为真，那么一定有0 ≤ x的y。

有几点需要注意。虽然我们只说加法单位满足x+0等于X，但实际上因为加法交换律，0+x也等于X..乘法单元也是如此。我们说“有加法单元”而不是“有唯一加法单元”，是因为加法单元最多只能有一个，如果有，那一定是唯一的。如果A和B是两个加法单元，你会发现a+b等于B因为A是加法单元，a+b等于A因为B是加法单元，所以A = B..我们说“有可加逆元”而不是“有唯一可加逆元”是因为同一元素最多只能有一个可加逆元，如果存在就一定是唯一的。假设A有两个加法逆B和C，那么就有b = b+0 = b+(a+c) = (b+a)+c = 0+c = c，所以B实际上就是C，乘法单元和乘法逆也是一样。

这基本上描述了作为一个算术系统需要满足的所有性质。第四篇和第五篇告诉我们，加法和乘法并没有那么神秘，它们只是元素对到元素的映射。第6至10条列出了加法和乘法的基本性质。第11条和第12条定义了两个特殊数字0和1。“加法逆元”这个术语出现在第13条，但“逆数”这个术语可能更贴切。第14条中出现了“乘法倒数”一词，但“倒数”一词可能更贴切。第13条和第14条实际上定义了减法和除法。减去x相当于加上-x；除以x相当于乘以x-1。这两个性质保证了我们可以自由地做减法和除法，得到的数仍然是合法的元素，不会出现减法不够、不允许除法、不允许除法的情况(被0除的情况除外)。因为每个元素都有倒数，每个非零元素都有倒数。

等等，这些性质可以描述算术系统？似乎漏掉了很多其他关键属性。例如，0乘以任何数字都等于0。这处房产在哪里？实际上，剩下的未写性质，包括(-1) x =-x，0 ≤ 1，0 ≤ x x等等，都是已有性质的推论。我们可以从已有的性质出发，完全忽略其实际意义，抽象地证明一个算术系统应该具有的其他性质。例如，为了证明0 x = 0，只需要注意:

0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x

两边同时加0 x的加法逆元，等式依然成立(这是因为如果a = b，那么加法运算会把a+c和b+c映射到同一个数上):

0 x + (- 0 x) = (0 x + 0 x) + (- 0 x)

0 = 0 x + (0 x + (- 0 x))

0 = 0 x + 0

0 = 0 x

如果第4条到第14条同时满足，这些要素就构成了一个“域”。如果第15条和第16条(当然还有第1条到第3条)也满足，这就是一个“有序域”。最小的有序域是有理数域。如果我们把上面的元素都看成有理数，把小于等于，加法和乘法解释为我们通常所说的小于等于，加法和乘法，那么整个系统满足上面的16个性质。实数域是更大的有序域，而有理数域只是它的“子有序域”之一。当然也有一些有序域的元素根本不是常规意义上的数字，它们之间的大小关系和加法乘法也根本不是常规意义上的大小关系和加法乘法。但是已经证明，任何一个有序域都必然包含一个子有序域，这个子有序域与有理数域同构——其中的一切都与有理数相同，只是元素的名称不同。也就是说，在任何一个有序域中，我们可以从加法单元和乘法单元出发，把可能不是数的元素全部或部分地看成数，得到一个等价于有理数的系统:加法单元是0，乘法单元是1，等于1+1的元素是2，等于2+1的元素是3。2的加法逆是-2，2的乘法逆是1/2，以此类推，而且这些元素确实是不同的元素，它们之间的加法和乘法的运算结果确实与有理数之间的运算结果一致。正因为如此，我们说这16个有序场条件完整地描述了算术系统的元素，足以描述算术系统。

在这里，我们突然有了一个非常激动人心的问题:一个有序域有没有可能大于一个实数域(实数域只同构于它的一个子有序域)？有理数域已经封闭，但加入一系列新元素后，我们可能得到一个封闭的、更大的实数域；那么，能否在实数域中加入一些新元素，使实数域进一步扩展为更大的有序域？不不不，答案不是“复数域”那么简单——复数域不有序是因为它不有序。换句话说，我们不能对所有复数都安排≤关系，使其满足有序域的所有条件。在这个比实数域大的有序域中，我们不仅可以继续加减乘除，还可以继续比较大小。每个新数和每个原实数之间有确定的大小关系。直觉上，这似乎是不可能的，因为实数已经填满了“线”。

注:故事还没结束，(3)外星人的数学，(4)平行棋后续故事下期分解！

via:Matrix67

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