什么是等比性质(合比性质和等比性质的区别)

比例线段

对于A、B、C、D四条线段，如果其中两条的比值(即它们的长度比)等于另外两条线段的比值，如A: B = C: D(即AD = BC)，则这四条线段为比例线段。

在下列四组线段中，比例是()

a=2，b=3，c=4，d=5

C.a=4，b=6，c=5 d=10 D

【解析】若两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段称为比例线段。逐一分析选项，排除错误答案。

【解析】A，2×5≠3×4，故选项错误；

b、1× 4 = 2× 2，故选项正确；

c，4×10≠5×6，故选项有误；

d，3，所以选择是错误的。选b。

【概要】本题考查比例线段。根据比例线段的概念，注意最小的和最大的相乘，另外两个看其乘积是否相等。同时，注意单位的统一性。

已知A、B、C、D为比例线段，其中A = 3cm，B = 2cm，C = 6cm，则D的长度为()。

A.4cm厘米B.5cm厘米C.6cm厘米D.9cm厘米

【解析】A、B、C、D四条线段是比例线段，根据比例线段的定义可以计算出来。

【解析】因为A、B、C、D是比例线段，

可用:dcm，选一个。

【概要】本题考查比例线段的定义。这个问题比较简单，解决问题的关键是注意比例线段的定义。

如果a是2，4，6的第四个比例项，那么a =；如果x是4与16之比的中值，那么x =。

【解析】根据第四比例项的概念，2: 4 = 6: a，则可求出a；

根据比例中的项的概念，x2 = 4× 16，则可以求出x。

【解析】∫a是2，4，6的第四比例项，∴ 2: 4 = 6: A，∴a = 12；

∫x是4比16的比例中的中项，∴ x2 = 4× 16，x = 8。

【概要】比例线段研究。这道题的重点是理解第四比例项和比例中值项的概念，并根据概念正确写出比例公式。

给定四条线段A，3，a+1，4成比例，A的值为。

【解析】根据A、B、C、D四条线段，若其中两条的比值(即它们的长度比)等于另外两条线段的比值，如A: B = C: D(即AD = BC)，则这四条线段成比例，简称比例线段。

【解析】∫四条线段A，3，a+1，4是比例线段。

∴ a: 3 = (a+1): 4，即3 (a+1) = 4a，解为a = 3。

【概要】本题考查比例线段，解决本题的关键是掌握比例线段的定义。

黄金分割

黄金分割:将线段AB分为AC和BC两条线(AC > BC)，设AC为AB和BC的比例中的中项(即AB: AC = AC: BC)，称为线段AB的黄金分割点，C点称为线段AB的黄金分割点，其中ACAB≈0.618AB，线段AB有两个黄金分割点。

在线段AB上，C点将线段AB分为AC和BC两段。如果，那么C点称为线段AB的黄金分割点。如果点P是线段MN的黄金分割点，当Mn = 1时，PM的长度为。

【解析】分为PM > PN和PM < PN两种情况，按黄金比例计算。

【解析】当pm > pn，PM>PN时，

当pm < pn时，pm = mnmn，所以答案是:或者。

【概要】本题考查黄金分割，掌握黄金比例是解题的关键。

如果C点是线段AB的黄金分割点，那么下列线段比不能是()。

A.B. C. D。

【解析】根据将一条线段分为两部分，较长的线段是整条线段与较短线段之比的中位数。这种线段划分称为黄金分割，它们的比值()称为黄金比例。

【解析】∫点c是线段AB的黄金分割点，∴ AC2 = ABBC (AC > BC)

然后；或者bc2 = ABAC (AC < BC)，

然后。所以唯一的价值不可能是。选择d .

【概要】本题主要考查黄金分割比的概念，找出黄金分割中的比例对应线段是解题的关键。

如图，已知E点是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，AE > EB。如果S1表示以AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长和BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除S1和S2外的剩余面积，那么S3: S2的值就是()。

A.B. C. D。

【解析】根据黄金分割的定义:将线段AB分为两条线段AC和BC (AC > BC)，设AC为AB和BC之比的中间点，称为线段AB的黄金分割点，C点称为线段AB的黄金分割点。其中，ACAB是可以计算的。

【解析】如图，设AB = 1。

∵点e是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，AE > EB，

∴AE=GF,∴BE=FH=AB﹣AE，

∴ S3: S2 = (gffh): (bcbe) = (): (1)。选择a。

【概要】本题考查黄金分割、矩形、正方形的性质。解决这个题目的关键是掌握黄金分割的定义。

古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时提出了一个线段的“中端比”问题:g点把一个线段MN分成两个线段MG，GN，使较长的线段MG为全长MN与较短线段GN之比的中项，即满足度。后人把这个数称为“黄金分割”数，把g点称为线段MN的“黄金分割”点。如图，AB在△ABC中已知。

A.10﹣4公元前35年D.20﹣8

【解析】设AH⊥BC为h，如图。根据等腰三角形的性质，BH = CHBC = 2，那么根据勾股定理可以算出AH，然后根据线段“黄金分割”点的定义可以算出BEBC = 22，那么就可以算出他= 24，然后根据三角形面积公式算出。

【解析】对于h中的AH⊥BC，如图，

∵AB=AC,∴BH=CHBC=2，

在Rt△ABH，啊，

∵D和e是边BC的两个“黄金分割”点，∴ bebc = 2 (1) = 22

∴HE=BE﹣BH=22﹣2=24,∴DE=2HE=48

∴△阿德(48) 10 𕗘 4。选择a。

【概要】本题考查黄金分割:将线段AB分为AC和BC两条线段(AC > BC)，使AC为AB和BC之比的均值(即AB: AC = AC: BC)称为线段AB的黄金分割点，C点称为线段AB的黄金分割点。其中ACAB≈0.618AB，线段AB有两个黄金分割点。等腰三角形也被检查。

比例的基本性质

解决这类问题，通常可以通过设置k法来有效解决，并注意方程思想和分类讨论思想的灵活运用。

已知:a: b: c = 2: 3: 5。

(1)求代数表达式的值；

(2)如果3a-b+c = 24，求a，b，c的值.

【解析】(1)按比例设a = 2k，b = 3k，c = 5k (k ≠ 0)，然后代入比例公式进行计算得到解；

(2)先设a = 2k，b = 3k，c = 5k (k ≠ 0)，然后代入3a ﹣ b+c = 24，就可以得到a，b，c的值。

【解析】(1) ∵ A: B: C = 2: 3: 5，

∴设A = 2k，B = 3k，C = 5k (k ≠ 0)，则1；

(2)设A = 2k，B = 3k，C = 5k (k ≠ 0)，则6k-3k+5k = 24，解为k = 3。那么A = 2k = 6，B = 3k = 9，C = 5k = 15。

【概要】本题考查的是比例的性质，用“设K法”比较容易解决。

已知A，B，C是△ABC的三边，满足，A+B+C = 12。探索△ABC的形状。

【解析】设第一个方程等于k，表示a、b、c，代入第二个方程，求k的值，就可以做出判断。

【解析】设k给a = 3k-4，b = 2k-3，c = 4k-8，

代入a+b+c = 12: 9k ~ 15 = 12，解:k = 3，∴ a = 5，b = 3，c = 4，则△ABC为直角三角形。

【概要】本题考查比例的性质和勾股定理的逆定理。熟练掌握性质和定理是解决这个问题的关键。

给定k，求k的值。

【解析】根据等比性质可得k，分两种情况讨论可得k的值。

[分辨率]∫k，

当a+b+c+d≠0，k时，可由等比性质k得到∴；

当A+B+C+D = 0时，B+C+D = ﹣ A，𐃜∴k2；；

综上所述，k的值为或-2。

【概要】本题主要考察比例性质的应用，解题的关键是掌握比例的性质。

已知A、B、C都是非零实数，满足的值为。

【解析】利用比例的性质将已知方程简化为表示a+b，a+c，b+c，代入原公式即可得到结果。

【解析】当a+b+c≠0时，

利用比例的性质简化已知方程，得到:1，

即a+b-c = c，a-b+c = b，a+b+c = a，

整理一下:a+b = 2c，a+c = 2b，b+c = 2a，此时，原公式8；

当a+b+c = 0时，我们可以得到:a+b = ﹣ c，a+c = ﹣ b，b+c = ﹣ a，那么原公式= ﹣ 1。

综上所述，的值为8或~ 1。

【概要】本题考查比例的性质，解决本题的关键是化简求值分数，熟练掌握算法。

平行线与线段成正比。

平行线的比例定理:三条平行线切两条直线，对应的线段成比例。

如图，直线l1∨l2∨l3和AC分别在A、B、C点与L1、L2、L3相交；DF分别在D、E、F点与l1、l2、l3相交；AC和DF相交于o点，已知DE = 3，EF = 6，AB = 4。

(1)求AC的长度；(2)若be: cf = 1: 3，求ob: ab。

【解析】(1)利用平行线段的比例定理，列出比例解。

(2)利用平行线段的比例定理，可以列出比例解。

【解析】(1)∫L1∨L2∨L3，∴，即解为:ac = 12

(2)∵l1∥l2∥l3,∴,∵ab=4,ac=12,∴bc=8,∴ob=2,∴.

【概要】本文考察平行线分线段的比例定理。解题时要注意，三条平行线切两条直线，对应的线段成正比。

如图，已知AB∨CD∨EF，它们依次与直线l1、l2相交于A、D、F点和B、C、e点，若AD: DF = 3: 1，BE = 10，则CE等于()。

A.B. C. D。

【解析】根据平行线段的比例定理3，BC = 3ce，ce长度可由BC+Ce = Be = 10算出。

【解析】∫ab∨CD∨ef，∴3，∴ BC = 3ce，

*公元前+公元前=公元前，∴3ce+公元前= 10，∴ ce。选c。

【概要】本题考查平行线的比例:三条平行线切两条直线，对应的线段成比例。

如图，在△ABC，ABC中，E点在AB侧，EF∨BC，AC在F点侧，de在AC侧。

点g点，那么下列结论是错误的()

A.B. C. D。

【解析】从AD∨EF∨BC，根据平行线段的比例定理，对应的线段可以成比例，逐一检查每个选项即可得出正确答案。

【解析】∵EF∥BC∴、∴的答案a是正确的；

根据比例性质，有:∴答案d正确；

∵ad∨ef，∴，∴答案b正确；

并且，答案C是错的。选c。

【概要】本题考查平行线段比例定理的应用，抓住定理中的“对应”二字是解决本题的关键。

已知在△ABC中，D点是AB上的一点，交点D为DE∨BC，DH∨AC分别在E点和H点与AC和BC相交，F点是BC延长线上的一点，连线FD在G点与AC相交，则下列结论错误的是()。

A.B. C. D。

【解析】首先证明四边形DECH是平行四边形，然后利用平行线段的比例定理逐一判断。

【解析】∫de∨BC，DH∨AC，∴四边形DE=CH是平行四边形，∴ DH = CE，DE = CH

∫de∨BC，∴，所以选项a正确，不符合题意。

∫DH∨CG，∴，所以c是正确的，不符合题意。

∵de∨BC，∴，∴，所以d是正确的，不符合题意。

选b。

【概要】本题考查平行线与线段的比例定理、平行四边形的判断及性质等。解决问题的关键是熟练掌握基础知识，属于中考题型。

相似三角形的判断

相似三角形的判断方法总结:

1.定义:三个对应的角相等，两个三角形按比例对应三条边相似。

2.平行法:平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交形成的三角形。

形状类似于原来的三角形。

3.判定定理1:如果一个三角形的两个角等于另一个三角形的两个角，那么这两个角

三个三角形相似。简单来说，两个角相等，两个三角形相似。

4.判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边成正比，且两条边都被夹住

如果角度相等，那么这两个三角形相似。总之两边成比例，夹角相等，两个三角形差不多。

5.判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成比例，那么这个

两个三角形相似。简单来说，三条边成比例，两个三角形相似。

如图，下面的图形和选项都是边长为1的小正方形组成的网格，三角形的顶点都在小正方形的顶点上。以下四个选项中哪一个与已知的delta △ABC()相似？

A.B.

C.D.

【解析】根据网格中的数据，求出AB、AC、BC的长度，求出三边的比值，通过两个三角形在比例上的相似性来判断。

【解析】根据题意:AC，AB，BC = 1，∴ BC: AB: AC = 1::，

A、三边之比1::，选项A符合题意；

B、三边之比::3、选项B不符合题意；

C、三边之比是2::，选项C不符合题意；

D、三边之比::4，选项D不符合题意。

选择a。

【概要】本题考查相似三角形的判断，掌握相似三角形的判断方法是解决本题的关键。

在△ABC，∠ACB = 90°时，用直尺和圆规在AB上确定D点，这样△ACD∽△CBD，根据绘图迹，是正确的。

( )

A.B. C. D。

【解析】若△ACD∽△CBD，△ CDA = ∠ BDC = 90，即CD为AB的垂直线，可根据作图迹判断。

【解析】当CD垂直于AB时，△ ACD ∽△ CBD。

∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠BDC=90，

≈ACB = 90 ,∴∠a+∠acd=∠acd+∠bcd=90 ,∴∠a=∠bcd,∴△acd∽△cbd.

选项a中，CD是∠ACB的平分线，不符合题意；

选项b中，CD不垂直于AB，不符合题意；

选项C中，CD是AB的垂直线，符合题意；

选项d中，CD不垂直于AB，不符合题意；选c。

【概要】本题考查相似三角形的判断和直角三角形的性质。熟练掌握相似三角形的判断是解决问题的关键。

如图，正方形网格上有五个三角形(三角形的顶点都在网格点上):①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②到⑤中，与①相似的三角形是()。

A.②④ B.②⑤ C.③④ D.④⑤

【解析】可以通过两边的比例角相等，两个三角形相似来判断。

【解析】由题意可知:① ② ④，∠ ABC = ∠ ADE = ∠ AFH = 135

再来一次:,∴，∴△ABC∽△ADE∽△HFA，选一个

【概要】本题考查相似三角形的判断，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解题。

如图，A、B、C、D点的坐标分别为(1，7)、(1，1)、(4，1)、(6，1)，顶点为C、D、E的三角形类似于△ABC，所以E点的坐标不能为()。

A.(4，2) B.(6，0) C.(6，3) D.(6，5)

【解析】利用A、B、C的坐标得到AB = 6、BC = 3和∠ ABC = 90，然后利用对应边比例相等、夹角相等的两个三角形的相似度来判断选项。

【解析】a，b，c三点的坐标分别为(1，7)，(1，1)，(4，1)，∴ AB = 6，BC = 3，∠ ABC = 90，

当E点坐标为(4，2)和D (6，1)时，CE = 1，CD = 2，∠ ECD = 90，

∵3,∠abc=∠ecd,∴△abc∽△dce；

当点E的坐标为(6，0)，D为(6，1)时，则ED = 1，CD = 2，∠ EDC = 90

∵3,∠abc=∠edc,∴△abc∽△edc；

当E点的坐标为(6，3)和D (6，1)时，则ED = 2，CD = 2，∠ EDC = 90

∫，∠ ABC = ∠ EDC，∴△ABC不类似于△ECD；

当E点的坐标为(6，5)和D (6，1)时，则ED = 4，CD = 2，∠ EDC = 90

∵,∠ABC=∠EDC,∴△ABC∽△EDC.

选c。

【概要】本题考查相似三角形的判断:两个对应边比例相等、夹角相等的三角形相似；还检查了坐标和图形属性。

相似三角形的性质(周长)

掌握相似三角形周长之比等于对应边之比是解题的关键。

如图，在△ABC中，AD在D点平分∠BAC，在AD点平分E点。若∠ Abe = ∠ C，AE = 2ed，则△ABE与△ADC的周长比是()。

A.1:2 B.2:3 C.1:4 D.4:9

【解析】根据已知条件，可以得到S △ Abe: S △ bed = 2: 1，然后根据三角形相似度得到S△ACDS△ABE。

【解析】∫ad:ed = 3:1，∴ AE: ad = 2: 3

∠∠Abe =∠c，∠ BAE =∠ CAD，∴△ABE∽△ACD，∴ L △ Abe: L △ ACD = 2: 3，选b

【概要】本题考查相似三角形的判断和性质，以及不同底高三角形面积的求解。等价替换是这个问题的关键。

如图，在▱ABCD，ab = 10，ad = 15，∠BAD的平分线与BC相交于e点，与DC相交的延长线相交于f点，与BG⊥AE相交于g点，若BG = 8，△CEF的周长为()。

A.16 B.17 C.24 D.25

【解析】先计算△ABE的周长，再根据相似比的知识来解答。

【解析】∵在▱ABCD，CD = AB = 10，BC = AD = 15，且∠BAD在e点与BC相交的平分线

∴ab∥dc,∠baf=∠daf,∴∠baf=∠f,∴∠daf=∠f,∴df=ad=15，

同理，be = ab = 10，∴cf = df𕗘CD = 15𕗘10 = 5；△ABG中的∴，BG⊥AE，AB = 10，BG = 8

在Rt△ABG，AG6，∴ AE = 2ag = 12，∴△ABE周长等于10+10+12 = 32

四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比是5: 10 = 1: 2，∴△CEF的周长是16。

【概要】本题意在全面考查平行四边形、相似三角形、勾股定理等知识的掌握和灵活运用，也体现了对数学中数形结合的考查。相似三角形的周长比等于相似比，比较难。

如图，点E是ABCD的AD边上的一点，与BE相连，相交CD的延长线延伸到点f，若DE = 3，DF = 4，则ABCD的周长为()。

A.21 B.28 C.34 D.42

【解析】根据平行四边形的性质得出AB∑CD，根据平行线的相似三角形得出AB和AE，再根据平行四边形的周长公式得出结果。

【解析】∫四边形AB=CD是平行四边形，∴AB∥CF，AB = CD，∴△ABE∽△DFE，∴，

∵de=3,df=4,∴ae=6,ab=8,∴ad=ae+de=6+3=9，

平行四边形ABCD的周长为:(8+9) × 2 = 34。选c。

【概要】考查相似三角形的判断和性质的关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判断和性质来回答。

如图，给定平行四边形ABCD，点E在DC上，DE: EC = 2: 1，在F点连接AE和BD，△DEF和△BAF的周长之比是()。

A.4:9 B.1:3 C.1:2 D.2:3

【解析】可以证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的周长之比等于相似比得出答案。

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，

∵德:EC = 2: 1，∴德:DC = 2: 3，∴德:AB = 2: 3，∴ C △ DFE: C △ BFA = 2: 3。选d。

【概要】本题考查平行四边形的性质以及相似三角形的判断和性质。注:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

相似三角形的性质(面积)

掌握相似三角形面积比是相应边比的平方这一性质是解决问题的关键。

如图，在△ABC中，DE∨BC，BE和CD相交于F点，S △ EFC = 3s △ EFD，则S △ ade: S △ ABC的值为()。

A.1:3 B.1:8 C.1:9 D.1:4

【解析】证明△DEF∽△CBF △ADE∽△ABC很容易，根据相似三角形面积比是对应边比的平方就可以解决问题。

【分辨率】∫s△EFC = 3s△def

∴ df: fc = 1: 3(两个三角形高度相等，面积之比就是底之比)

∵de∥bc,∴△def∽△cbf,∴de:bc=df:fc=1:3

同理△ADE∽△ABC，△ s △ ade: s △ ABC = 1: 9，选c。

【概要】本题考查相似三角形的判定以及相似三角形面积比是对应边长比的平方的性质。熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键。

如图，在平行四边形ABCD中，E点在DA的延长线上，AEAD，连接CE，BD在F点相交，AB在G点相交，那么S △ BGC: S四边形ADCG的值是()。

A.B. C. D。

【解析】根据平行四边形的性质，得出AD∨BC，AD = BC，AB∨CD，进而证明△AEG∽△BCG。利用类似的性质，证明得到△EAG∽△EDC，所以S四边形ADCG = 15s △ EAG，进而计算出S。

【解析】∫四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD = BC，abcd

∫AE∨BC，∴△AEG∽△BCG，∴ () 2 = () 2，即S△ BCG = 9s△ AEG

∵ag∑CD，∴△EAG∽△EDC，∴ () 2 = () 2，即S△ EDC = 16s△ EAG

∴S四边形ADCG = 15s △ EAG，∴ s △ BGC: s四边形ADCG = 9s △ AEG: 15s △ EAG = 3: 5。选择一个.

【概要】本题考查相似三角形的判定及性质:在判定两个三角形相似时，要注意利用图形中已有的共角、共边等隐含条件，充分发挥基本图形的作用。寻找相似三角形的一般方法是通过制作平行线来构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质来表达线段之间的关系；还研究了平行四边形的性质。

如图所示，D和E分别是△ABC的AB边和BC边上的点，DE∑AC、AE和CD相交于o点，若S△DOE: S △ CoA = 1: 25，则S△DOE与S△COE之比是()。

甲1:25乙1:5丙1:4丁1:3

【解析】通过证明△DOE∽△COA，得到()2，可以找到并求解。

∴△DOE∽△COA、∴()2、∴、

∴S△DOE与S△COE之比为1: 5，而b .

【概要】本题考查相似三角形的判断和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键。

如图，DE为△ABC的中线，P点为DE的中点，CP的延长线与AB相交于Q点，则S △ CPE: S △ ABC =。

【解析】若AP连通，交点BC延伸到点F，则可得S △ CPE = S △ AEP，S △ AEP = S △ ADP，由DE∨BC可得S △ CPE: S △ Ade = 1: 2，可得S △ Ade: S △ ABC。

[解决方法]连接AP并将BC延伸到点f，

∵DE是△ABC的中线，∴E是AC的中点，∴ s △ CPE = s △ AEP，

∵点p是DE的中点，∴ S △ AEP = S △ ADP，∴ S △ CPE: S △ Ade = 1: 2

∫de是△ABC的中线，∴DE∥BC，de: BC = 1: 2，∴△ADE∽△ABC，

∴s△ade:s△abc=1:4,∴s△cpe:s△abc=1:8

【概要】本题考查三角形的中线定理、相似三角形的判断和性质、三角形的面积等知识。解决问题的关键是熟练掌握基础知识。