欧拉方程和ns方程区别(欧拉方程和ns方程区分)

2014年和几个学院派朋友聊流体力学中的NS方程。目前有空，我就简单描述一下我这几年的想法如下。

就NS方程的推导及其客观现象而言，NS方程是对流体微元在瞬时意义下的变形运动的描述。在流体力学的本构方程中，压力是微乎其微的。在力学本质上，压力的空之间的梯度是微元惯性力的表示。但在本构方程中，它被置于变形应力的位置。因此，在哲学中，惯性力(牛顿意义上的)没有独立的地位。这是因为，如果研究定常流动，压力是变形力的唯一原因(流速空)之间的梯度(反之亦然)。

微元本身的绝对惯性速度(整体平移)对流体应变没有贡献，这种缺陷以压力作为补充项的各向同性应力形式出现。就最原始的流体力学而言，压力是由流体的物理性质和整体平移速度决定的。对涡旋的研究还表明，涡旋的转速(或旋度)也是由局部整体的转速决定的。这种局部整体旋转相当于局部效应中的局部整体平移，也体现为压力的局部特性。因为这种局部意义上的整体强烈依赖于局部尺度，尺度对于流体动力学来说是非常明显的。

在大尺度上，如果整个物体的惯性平移被压力所包含(在空之间的恒速部分，其中速度梯度已经被消除)，那么在这个尺度上的局部整体旋转(小涡)被忽略。方程中的忽略，只说明方程本身的局限性，不能视为正确(物理真实)。所以缩小尺度总是可以兼顾到适当尺度的小涡。好处是应力(或压力)更接近当地真实测量，但付出的代价是在NS方程中不断补充新的应力(或压力)项。方程式往往是无限复杂的。最后，将流体动力运动简单地视为一种统计现象，这是对其最初出发点NS方程的哲学否定。

对于固体变形，整体的平移和旋转对应变没有贡献，所以对应力没有贡献。这基本上等同于一个移动的固体与一个静止的固体。从哲学上讲，整体的平移和旋转对局部变形没有贡献。这个基本可以接受(大概意义上)。然而，这对于流体来说显然是不可接受的。而流体力学通过引入静水压力来维持速度梯度为零时应力的存在。这与固体变形力学不同。因此，我们可以认为，动力学方程中静水压力项的意义在于以间接的方式强行包含了整个物体平移和转动的物理效应。

事实上，1965年前后的理性力学在这个问题上的观点是，在整个连续介质力学中，用本构方程区分流体物质和固体物质在形式上是和谐的，但在物质定义上是不和谐的。间接的，流体的本构方程是不合理的。其中，特鲁斯德尔在其专著中明确指出，静水压力项的存在无法用力学理论解释清楚，只能作为经验项被动接受。

回顾NS方程的推导，压力项被应力项以隐式的方式隐藏，因此其有效性是通过避开压力的独立物理意义而得到的，本质上是将流体微元等同于高速运动中的可变形固体微元。在这样的哲学意义上，连续性方程显然是事后的补充方法。

所以我们可以看到这种做法是相当成功的:把连续性方程当作一个独立的方程(实质上是补充了一个关于局部全局惯性速度的约束方程)，把NS当作一个形变力学方程。

事实上，如果客观地看待近百年来的流体力学研究，那么特鲁斯德尔对涡量的研究就是把局部整体旋转从NS方程中分离出来，认为它满足其他动力学方程(类似于角动量守恒)，而欧拉的流体力学方程基本上是基于角动量守恒的考虑。当然，NS方程也可以近乎完美地表达涡旋，但付出的代价是把涡旋的尺度变成了尺度上的分形性质(嵌套结构)。在多个尺度上重复使用NS方程是力学理论中一种灵活的方法，也是理论局限性的特征性表现。

另一种有效的方法是引入一个流矢函数，它不仅定义了流的整体性质，而且定义了流体微元的变形性质，这样就不像NS方程那样，有一个独立的物理方程作为对流函数的控制。目前这种理论还在发展中。可以概括为:修改NS方程，引入至少一组关于流动整体性质的动力学方程。

虽然相关的研究工作并没有明确指出单靠NS方程不足以描述流体力学方程(以至于NS方程没有唯一解或者无解)，但是它隐含的思想是这样的。我记得大多数流体动力学的权威国际期刊接受文章的前提是无条件接受ns方程，不接受反对NS方程的论文。不知道现在还是不是这样。这才是目前NS占据绝对优势的基本原因，而不是NS本身的强大。

因此，我认为(这也是我在研究的课题)流体力学的未来进展在于:

在给定尺度下，整体的平移、转动虽然对应变没有贡献，但是对于流动是有决定性作用的，需要有专门的运动方程来表达；压力的变化应与变形应力区别开来，从而，压力不应是作为静水压力来表征，而是作为以整体流速、涡度为自变量的二阶张量来表征；固体的连续性概念不能简单的移值到流体中，需要有新的数学表达形式，而这种表达方式更类似于以物理属性为标准的办法，而不是以实质性的微元流体来表征。

总之，流体运动的复杂性在于我们不能一一对应地移动固体力学(形变力学)的理论，也不能一一对应地移动质点系力学(拉格朗日力学，哈格里夫斯力学)的理论，而必须是两者的某种结合。而这种组合必须由物理学或力学的原理来决定，而不是简单地分解成两个独立运动的叠加(加法或乘法)结构。

在我看来，只有具备了上述一般结构，热力学量(熵、温度)、化学量(化学反应)和分子动力学效应(多相、多组分)才有更可靠的理论途径进入复杂流动问题的研究。

无论如何看待NS方程，流体力学的难度决定了它是本世纪的研究热点。将NS视为单一路径的研究方案注定令人失望，几乎所有研究者都对修改NS的各种方案持怀疑态度，更不用说形成持续的攻关局面，达成共识更是遥遥无期。所以会把大部分力量都对准NS方程，无非是后人将前人半个世纪前所做的研究工作全部重复一遍，研究结论本身不会改变，只会成为一种说法。从科学哲学的角度来看，这是一个以NS方程为中心的逻辑怪圈。

来源:肖建华科学网博客