几何平均数的意义()

“算术-几何平均”既不是算术平均，也不是几何平均。它首先被德国数学家高斯发现并研究，被誉为“数学王子”。算术——几何平均，当然和“算术平均”、“几何平均”这些概念有很深的关系。我们知道，任何数学概念或定理，即使简单，只要和高斯有关，就不会简单。有了耐心，我们再来看看高斯对算术-几何平均数的研究。

预备知识

对于两个正实数A和B(我们设0 < A≤b)，(a+b)/2称为A和B的算术平均值,√ab称为A和B的几何平均值。

我们有基本的不平等，

等号成立当且仅当A = B。

不难证明:

从数字的角度来看

从外形来看

一目了然。

正文

算术平均和几何平均的概念相当简单，大部分人都认识到了基本不等式，可以说是成功的成果。如果继续学习，只有两个方向:

首先，从两个数字推广到三个、四个甚至任何N个正数:

第二，研究其他类型的平均值，如立方平均值、平方平均值、调和平均值(倒数平均值)以及它们之间的大小关系，得到更高级的基本不等式:

即“立方平均≥平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”。

上述不等式还可以推广到任意n个正数的情况。

大部分数学家都走到了这一步，可以说是圆满的成就。

高斯，但另一种方式。

平均，平均，既然叫“平均”，自然介于两者之间，调和最大和最小。完整的基本不等式应该是:

从A和B得到(a+b)/2和√ab。明显地

不到一半的距离。

设a1=√ab，b1=(a+b)/2，然后计算它们的算术和几何平均值，以及

同样，它们之间的距离是

这个过程可以无限期地继续下去，也就是说

那么单调递增序列{an}有一个上界，单调递减序列{bn}有一个下界，当n趋于无穷大时，

所以序列{an}和{bn}收敛到同一个极限。

高斯称这个极限为A和b的算术-几何平均值，记为AGM(a，b)。

高斯当时只研究算术-几何平均数。但顺着他的思路，当然也可以发明出算术-平方平均、算术-调和平均、平方-调和平均等概念。只是在上面的迭代过程中，an和bn分别取an-1和bn-1的不同平均值。

这些平均值很容易计算。如果一个程序经过多次编译迭代，可以得到精度很高的结果，而且收敛很快。

比如1和2，边肖用MATLAB编程，它们的算术-几何平均值约为1.456791031046907，算术-平方平均值约为1.546462489，平方-调和平均值约为1.4878.888888886如果有兴趣可以尝试计算一下其他组合的平均值。在计算过程中，边肖发现了一个非常有趣的结论。限于篇幅，暂且不展示。

本来两个数的平均，算术平均还是几何平均，很简单，计算简单，结果简单。对于1和2，它们的算术平均值为1.5，几何平均值为√2，平方平均值为√(5/2)，调和平均值为4/3。但是，这么简单的一和二，他们的算术-几何平均看起来好丑啊！1.456791031046907 .....好像是个超越数！！！到底是谁？

高斯不仅仅满足于数值运算。很快，他找到了算术-几何平均AGM(a，b)的解析表达式:

ππ，三角函数，微积分.....诸如此类。算术几何平均数如何与这些概念联系在一起？？？

那时，高斯22岁。

后续

研究这些平均数有什么用？

对于我们来说，它可以作为一个数学游戏，可以启发我们的思维。也许，它可以应用在一些我们还不知道的领域。

但是高斯，他对算术-几何平均数的研究绝不是一时的游戏。

作为一个“能从某种角度掌握星辰空和深奥数学的天才”，高斯发现算术-几何平均数与椭圆积分有着深刻的联系。

比如很多人熟悉的双纽线。双纽线是一个定点轨迹(像椭圆一样)，它与平面上两个定点的距离的乘积是常数，看起来像一个无限的符号。方程式如下:

学太多数学的人应该知道双纽线的区域是2a^2.但是让我们看看双纽线的周长。

为简单起见，取上图中的a=1，其极坐标方程为

根据对称性，它的周长

利用高斯公式计算AGM(a，b)，我们可以很容易地得到双纽线的周长。

为了纪念高斯，叫做

是高斯常数。

双纽线的周长计算其实是一个椭圆积分，椭圆积分的反演是一个椭圆函数。椭圆函数可以说是19世纪数学领域在复变函数论方面最辉煌、最壮观的成就，没有之一。

人类历史上研究的第一个椭圆函数是双纽线周长的积分反演。研究它的是高斯。

椭圆在数论中的应用发展了模函数、模曲线、自守形式等理论。上世纪末怀尔斯证明费马大定理，使用的基本工具之一就是椭圆函数。

思考题

高斯在22岁时发现了这个定理

有人对证明感兴趣吗？证明只用到了高等数学的基础知识，没有知识盲区。有兴趣的话私信或留言告诉我，分享一下你的思考和证明过程。视情况而定，我会在下篇文章中贴出。