收敛级数乘以收敛级数的收敛性如何(收敛级数乘以收敛级数是什么函数)

几项级数其实是在研究一个问题，无穷数相加是否有结果。

是一个系列。我们把里面所有的元素加起来，称之为级数。我们把这个级数缩写为或∑。

如果一个级数=能算出一个结果，我们说这个级数收敛；如果这个级数不能得出一个结果，我们就说这个级数发散。

如果我们订购=，那么

、、…、、…

这样，级数的收敛就等价于级数的收敛。

此外，设=，此时=

这里我们称=数列的第n个部分和，简称部分和。=

既然已经通过级数的部分和把级数的收敛和数列的收敛联系起来了，那么只要能证明部分和数列的收敛，就能证明级数的收敛。

因此，我们可以根据级数收敛的柯西准则推导出级数收敛的柯西准则。

序列收敛的柯西准则是:序列收敛对于任意大于0的数ε总是有正整数n。当n，m > n，m < n时，我们可以得到这样一个公式<ε。

因为=，所以

==<ε

因此，我们可以得到几个级数收敛的柯西准则如下

级数的收敛性对于任何ε大于0的数，总有正整数n .当n > n时，

对于任意正整数p，这个公式成立，<ε。

我们现在可以考虑一个问题:我们把级数中的加数拆分=成级数。如果≠0，级数有可能收敛吗？

我们假设在级数≠0中，根据级数不收敛的定义，我们可以得到，

有一个大于零的数字。对于任意正整数n，以下公式成立，≥

即≥

所以我们把≥带到级数收敛的柯西准则，就会产生这样一个结果。

≥=

根据ε的任意性，可以得到≥≥ε。

所以此时级数不再满足级数收敛的柯西准则，也就是说级数不收敛。

所以，一个级数要想收敛，那么先决条件必须是=0。

我们来看一个问题:调和级数收敛吗？

根据分析，我们可以得到调和级数的=。

由于==0，调和级数可能收敛。

当n接近无穷大时，对于任意正整数p，

当p=n时，

≥

而且，≥不满足项级数收敛的柯西准则。

所以调和级数发散。

下期讲几个级数敛散性的判定方法。

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