实数和虚数(实数,虚数,纯虚数的定义)

有时候，人类科学的发展需要超越传统的思维方式。20世纪初，物理学中的两次革命——爱因斯坦的相对论(先是狭义的，然后是广义的)和量子力学——带来了对数学的需求，而所需的工具仅仅依靠实数是无法满足的。从此，由实部和虚部组成的复数就与我们对宇宙的认识密不可分地交织在一起。

在数学上，当我们想到数字时，我们可以想到几种不同的分类方法:

可数数字：1、2、3、4，等。这样的数字有无数个。自然数：0、1、2、3 等。这些数与可数数相同，但同时包括零。整数：…,3,2,1,0,1,2,3, 等。这看起来可能不多，但认识到我们可以有负数是一个巨大的突破，而且负数和正数一样多。整数包括所有的自然数和它们的负数。有理数：可以表示为一个整数除以另一个整数的任何数字。这包括所有的整数(可以表示为它们本身除以 1)以及每个整数之间无穷多的有理数。任何无限循环的小数都可以用有理数来表示。实数：包括所有的有理数以及所有的无理数，比如非完全平方的平方根，π，以及其他的无理数。任何有理数和任何无理数的和都是无理数，但两个无理数的和可能是有理数。

然而，虽然正数的平方根是实数，但负数的平方根却没有明确的定义。至少，直到数学家发明了虚数来定义它，它才被定义！

虚数和实数没什么区别，只是可以乘以I-或者√-1。数也可以是复数，其中既有实部(a)，也有虚部(b)，通常用(a+bi)表示。

现在你知道它们是什么了，这里有5个我认为关于虚数最有趣的事实！

1. i 的平方根既有实部也有虚部

负实数的平方根是纯虚数，但纯虚数的平方根必须有实部和虚部！以下是你证明自己的方法。你需要某个数的平方等于√(-1)。假设它有一个实部x和一个虚部y，那么我们可以写成(x+yi)，然后就可以算出x和y的值是多少了。

两边同时平方

现在让实部对应实部，虚部对应虚部。

通过这两个方程，我们可以把右边方程的X代入左边方程，

然后，我们可以解出y:

如您所见，有两种可能的解决方案。如果我们使用等式的右侧(虚部)来求解x(两种情况下y的值相同)，我们会得到两个解:

这引出了下一个有趣的事实…

2. i 的任意根有多个不相同的解，N 次根有 N 个不相同的解

对于正实数，根(即第二根)会给出两种可能的解:正的和负的。比如√(1)可以是+1也可以是-1，因为任何一个的平方都是1。

但是对于I，也就是√(-1)，如果要求根，就需要做一个多项式方程，就像我们上面做的一样。问题是多项式方程的阶取决于我们求它的根。所以I的三、四、五次方根必须满足:

所以方程中每个x和y有3，4和5个不同的解。例如，I的立方根的三个解是:

(试着把它们立方体，自己看！)这甚至不涉及更复杂的点。请继续读下去...

3. 分子或分母？

在虚分数中，I是分子还是分母很重要。如果考虑数字(-1)，在分数形式的情况下，无论是用(-1)/1还是1/(-1)考虑，结果都是(-1)。但对我来说却不是这样！我问你，你觉得这个分数是多少？

看着它，你可能觉得它等于I，其实它就是——I！

想证明吗？只要把分数上下同时乘以一个I，就可以了。

所以在组合或分解复杂的分数时要小心，一定要遵循一些复杂的规则才能得到正确的结果。违反了它们，就可以做各种疯狂的事情，比如证明+1 = -1，数学上叫无效证明。

4. e、π 和 i 都是彼此关联的

在数学上，我们可以用极坐标来表示二维坐标空之间的空间，这里有一个离原点的径向坐标(R)和一个极角(θ)，像这样:

▲ 极坐标与直角坐标之间的关系，图自维基▲极坐标和直角坐标的关系，来自Wiki

如果你用实轴和虚轴代替x轴和y轴，你可以做同样的事情，除了这次θ角可以把你带到实平面和虚平面之间。

▲ 欧拉公式，图自维基▲欧拉公式，图片来自Wiki

令人惊讶的是，如果我们把-1的位置定位在实轴上，我们会得到一个漂亮的恒等式:

就是这样:E，I，π之间有一种简单而又意想不到的关系。证明如下:

这些关系经常出现在复变量分析中。但是，如果你愿意考虑指数，最后一个事实是非常了不起的。

5. i 的 i 次方

I的I次方是100%的实数。考虑上图中的方程(欧拉公式)——但是我们不是指向实轴上的(-1)，而是指向虚轴上的I。在这种情况下，我们将得到一个等式:

如果我们想知道I的I次方是多少，我们需要做的就是同时取等式两边的I次方，

记住I的平方等于-1，然后我们可以发现:

这是关于真正的数字0。36860 . 66868686861.....

这是关于虚数的五个最有趣的数学事实！你想分享什么，或者评论这些问题？请在下面留下评论。

作者:@创始人迈克尔，【遇见数学翻译团】核心成员。