arccosx等于什么公式(csc^2x等于什么公式)

#标题创作挑战#

上次老黄在高等数学的探索中遇到了危机。即老黄自己推导的正弦或余弦的正整数次幂公式与课本上给出的递推公式联系不紧密。于是，老黄怀着忐忑的心情，将教材的递推公式推导成最终的公式形式，证明教材的递推公式与老黄自己推导的公式是一致的。这方面可以在“老黄高雪术”视频系列第267讲中详细描述。

同时也给了老黄一些启发。教材上有割线或余切的递推公式，老黄为什么不推导出它们最终的公式形式。一个可以巧妙的找到积分的各种方法，一个以后可以直接用，一举两得。其实这是一种学习方法，不仅适用于高等数学，也适用于基础数学等学科。

就这么做吧，老黄先推导割线的正整数幂积分公式，看看结果如何。这里有两个步骤。第一步，推导教材的递推公式。因为教材只给了一个公式，没有教老黄如何推导这个公式。第二步，在递推公式的基础上推导出最终公式。

1:查找in = ∫ (secx) ndx，n >；2.

用文字描述推导过程还是挺麻烦的。希望你能看清楚。如果你有什么不明白的，请回复你的问题。

公式需要分类讨论，即n为奇数时，n为偶数时。它们的公式形式看起来很像，只是第一项的ln|secx+tanx|和tan的区别，求和公式的上标m和m-1的区别。但当具体指标n代入时，两个公式仍有较大差异。

注意，当n=1时，公式(1)中剩下的第一项是∫ secxdx = ln | secx+tanx |+C，当n=2时，∫ (secx) 2dx = tanx，也是公式(2)前面的第一项，是它们的特例。

用这个公式做两个例子。例1是求割线5次幂的不定积分:

例如:Find ∫ (secx) 5dx。

例2是求割线6次幂的不定积分:

例如:Find ∫ (secx) 6dx。

结果老黄被考验了。检查过程相当解压。因为你无法想象为了保证公式正确，这是一个多么烧脑的询问过程。

我们来探讨余割的正整数次幂的积分公式。与其重复上面极其麻烦的过程，不如用公式:sec(x+π/2)=-cscx。把它变成割线的正幂问题。但因为中间步骤复杂，被老黄直接省略了。涉及的知识比较基础，可以自己做。

2:找到∫ (CSCX) NDX，n >；2.

可以看出，所得到的公式与公式(1)和(2)之间只有两处不同。一是符号相反，二是所有secx都变成cscx，而所有tanx都变成cotx。其他的完全一样。

再举两个例子。例3是求余割的四次方的不定积分。

例如:Find ∫ (CSCX) 4dx。

例4是求余割的三次幂的不定积分。

例如:Find ∫ (CSCX) 3DX。

如果你觉得老黄取的指标太小，导致巧合，那么你可以自己取一些大一点的数字，仔细核对，不要自己出错。

还是最后一个练习:

练习:Find ∫ ((secx) 21+(cscx) 22) dx。

两个求和公式可以合并，但是继续简化会很麻烦，所以用这种形式做答案就好了。不需要在脑子里背公式，在电脑上背就可以了。如有必要，请程序员编译程序。只需输入参数，求正割或余割的任意正整数次幂。不管指标多大，计算机都会直接得到结果。