质数和素数一样吗(质数和素数一样吗为什么)

英文:【遇见数学翻译组】-翻译:邢可爱校对:曾林成

如彩票号码般的质数

1900年8月一个闷热潮湿的下午，戴维·希尔伯特在巴黎举行了新世纪第一次国际数学家大会。对于一位来自德国哥廷根的38岁数学家来说，这是一项艰巨的任务。当他开始说话时，你甚至可以听到他声音中的一丝紧张。所有伟大的数学家都聚集在巴黎大学。几个月来，希尔伯特一直在担心他应该说些什么。毫无疑问，在新世纪的第一次数学家大会上，应该会出现比仅仅复述旧定理更令人兴奋的东西。

所以希尔伯特决定做一个非常大胆的演讲。他会讲我们不知道的，而不是我们已经证明的。他用23个未解决的问题挑战新世纪的数学家。他认为“问题是数学的生命血液”。在数学家的发现之旅中，如果没有问题，数学就会停滞不前。这23个问题奠定了20世纪数学探索者的基础。他们的存在，就像大山，等待数学家去征服。

随着上个世纪末，所有的问题基本上都解决了。除了一个:黎曼假设。希尔伯特所有问题中的珠穆朗玛峰。其实这是希尔伯特最喜欢问的问题。当被问及如果500年后复活，他会做的第一件事是什么时，他说:“我会问黎曼假设是否被证实了。”种种迹象表明，答案可能仍然是“不”，这似乎是数学书上最难的问题之一。

当我们进入千禧年时，数学家们决定重复希尔伯特的挑战。在第24期的PLUS上，我们看到了“如何通过数学致富”[1]这篇文章——通过解决七个千年奖谜题中的一个让你变得富有和出名。黎曼假设是唯一出现在希尔伯特问题清单和这个新世纪问题清单中的问题。所以请继续阅读这篇文章，它可能是你成为百万富翁的通行证。

[1]plus.maths.org/content/os/issue24/features/budd/index

寻找规律的人群

黎曼假设涉及到做数学家的核心能力:发现规律。寻找规律通常类似于课堂上出现的挑战:找到下一个数字。

下面列出了一些挑战，供你尝试。你能找到规则并填入下一个数字吗？

前两个可能没什么问题。第一个数列叫做三角数。序列中的第n个数记录了n行三角形中的石头个数，即前n个数之和:1+2+...+n。

第二个序列是大自然最喜欢的序列之一。13世纪数学家斐波那契首先认识到这个列数的重要性后，我们把这个列数称为斐波那契数列，数列中的每个数都是由前两个数相加得到的。一朵花的花瓣数总是这个序列中的一个数。

第三个序列可能更具挑战性。其实如果你能预测到46是这个数列的下一个号码，我建议你下周六可以去买彩票。这些号码是2003年10月22日的彩票中奖号码。(见下图)

最后一个序列当然是质数序列。这些不可分的数只能被自己和1整除。它试图解释黎曼假设中涉及的素数序列。

面对这一系列数字，很多问题也随之产生。除了寻找预测下一个数字的规则的挑战，数学家们还热衷于试图了解是否有一些公式可以帮助获得这些数字:是否有一种方法可以直接生成列表中的第100个数字，而不计算前90个数字？

在我们的前三个序列中，前两个确实有生成它们的序列的公式。例如，要获得第100个三角形数，只需在

这个公式使N=100。这比把1到100之间的所有数字相加要简单得多。(挑战:你能证明为什么这个公式总是有效吗？给你个提示:取两个三角形，构建一个N+1行N列的矩形。)

但是当你看质数序列的时候，你会发现它们似乎和国家彩票的号码有更多的共同点。我们似乎很难预测下一个素数什么时候出现，更不用说生成一个公式告诉你第100个素数是541了。

虽然质数是随机的，但却是普遍的。国家彩票号码没什么特别的，每周都有变化。质数是永远存在于宇宙结构中的数字。41是质数的事实，似乎印在了宇宙的本质上。宇宙的另一边可能有不同的化学或生物，但541仍将是一个质数。这也是为什么很多科幻作家(比如卡尔·萨根，他的经典小说《接触未来》还被拍成了同名电影)选择质数作为外星生命与地球交流的方式。这个数字序列有些特别。如果在遥远的星系中有某种节奏符合这个序列，我们一定会注意到。

外星人可能在几百万年前就发现了质数，但人类发现质数的第一个证据是什么？有人认为，第一个认识质数的文化产生于8000多年前。考古学家在赤道非洲中部发现了一块伊桑戈骨(Ishango bone的骨头)，其侧面刻有三列柱状凹口。这块骨头上的痕迹似乎与数学有关。在一列中，我们发现了10到20之间的质数。然而，有人认为这些骨头与记录日期有关。由于素数的随机性，日期列表很可能是一个素数列表。(你可以在Ishango Bone展会上了解更多关于Ishango Bone的信息。)

第一个真正理解质数对整个数学体系意义的文化是古希腊文化。他们意识到质数是所有数字的基石。每个数都可以通过质数相乘得到。他们是算术原子。每一门学科都有它的基本组成部分:化学有一个元素周期表，表中列出了构成物质的109种元素；物理学家有基本粒子，涵盖了夸克、胶子等不可思议的东西；生物学在寻找人类基因组的序列，这是生命的构建工具。

但千百年来，数学家们一直在聆听质数，也就是数学的心跳，却无法理解或预测下一次心跳何时到来。这似乎是一个由浓缩咖啡+鸡尾酒连接的主题。对于数学家来说，这是一个终极的玩笑:数学是一门关于模式、秩序和对称的学科，然而它是由一组看起来没有韵律和道理的数字组成的。两千年来，我们一直试图理解大自然是如何选择算术原子的。

当然也有一种可能，就像化学中的原子一样，只用109个质数就可以建立所有的数。如果这是真的，我们就不需要担心寻找预测素数的规则，因为我们只需要做一个有限的素数列表就可以完成了。但是伟大的希腊数学家欧几里德排除了这一点。在很多人看来，欧几里德给出的这个定理是数学第一定理。他解释了为什么质数是无限的。这个证明在PLUS第25期的一个数字漩涡里描述过。然后，产生一个包含所有素数的列表的机会，比如素数周期表或者素数基因组计划，将不复存在。相反，我们必须使用数学工具来理解无限列表中的任何模式或结构。

可能质数一开始还挺不可预测的，后来就稳定下来，形成格局了。我们来看10，000，000个质数，看看这里有没有规律，能不能找到一个公式来预测质数的波动。1000000之前的100个数中有9个质数:

•9,999,901,

•9,999,907,

•9,999,929,

•9,999,931,

•9,999,937,

•9,999,943,

•9,999,971,

•9,999,973,

•9,999,991.

但是看看1000000之后的100个数字里出现了多少个质数:

•10,000,019,

•10,000,079.

质数看起来像公共汽车:首先，有一堆质数，然后你要等好几年，下一个质数才会出现。似乎没有办法找到一个公式可以引出这个奇怪的列表，或者告诉我们第664571个素数是999901。

尝试一个小实验。列出100万左右的定性数字，尽量记住。关掉电脑，看看自己在超脑里表现如何。我们大多数人会试图创造一些潜在的模式来帮助我们记忆序列。事实上，我们的大脑最终试图存储一个较短的程序来创建序列。衡量这些数字随机性的一个很好的方法是，我们的大脑很难构建一个明显短于直接记忆序列的程序。

就像听一首曲子和听白噪音的区别。旋律的内在逻辑让你多听几遍就能弹奏出这段旋律，但白噪音并没有给你下一段旋律的线索。质数的神奇之处在于，虽然第一次听到的只是白噪音，但文化向另一个数学领域的转化，会透露出一种意想不到的和谐。这是高斯和黎曼的伟大见解。就像西方人听东方音乐一样，我们需要一个不同的视角，才能理解导致这种随机性的模式。