柯西中值定理证明(柯西中值定理几何意义)

当你学习拉格朗日中值定理和微分中值定理柯西中值定理的时候，可能会有一个问题会困扰你。即在解题过程中，如何判断应该用拉格朗日中值定理还是柯西中值定理。

最麻烦的一件事就是如何构造一个合适的辅助函数。比如你是初学者，肯定会面临这样的问题。

设函数f在[a，b]上连续，在(a，b)中可导，ab >: 0。证明:

有ξ∈(a，b)使得1/(a-b)*行列式| a，b；f(a)，f(b)|=f(ξ)-ξf'(ξ)。

解析:第一步，当然应该是将行列式转化为代数表达式的形式。这个行列式等于af(b)-bf(a)。左边整个公式是(af(b)-bf(a))/(a-b)。看，是不是很像拉格朗日中值定理的公式形式？如果你仔细看，你会发现它和拉格朗日中值定理的公式不一样。

而如果不仔细看，公式的右边f(ξ)-ξf'(ξ)很容易和函数xf(x)联系起来。但是xf(x)的导函数其实是f(x)+xf & # 39；(x)。和这个公式明显不一样。

所以这个问题一定不能应用拉格朗日中值定理，而必须应用柯西中值定理。在大多数情况下，柯西中值定理要构造两个辅助函数，使得这个问题更加困难。

回到公式右边的f(ξ)-ξf'(ξ)，你应该能想到函数f(x)/x，或者x/f(x)。稍加尝试，你会发现应该构造辅助函数F(x)=f(x)/x，使其导函数为F .(x)=(xf & # 39；(x)-f (x))/x 2。另一个辅助函数构造为G(x) = 1/x .这个构造非常巧妙，因为G(x)G & # 39；(x) =-1/x 2，其中分母的x 2正好等于F & # 39(x)中的分母四舍五入，可以四舍五入。和G & # 39(x)的符号性质是否定的，就像F & # 39(x)中的分子被粗略地分开，以便它们取相反的数目。

明确了f，g满足[a，b]上柯西中值定理的条件后，我们就可以直接应用柯西中值定理的公式，即[a，b]上一定有一个点ξ，这样两个函数的两个端点之差之比就等于ξ的两个导函数之比。要证明的公式可以简化得到。

用下图的形式展示解决问题的过程:

其实拉格朗日中值定理是柯西中值定理中第二个函数G(x)=x的特例。但是拉格朗日中值定理很多人很容易上手，柯西中值定理就有些难了。关键是熟能生巧。学几个这样的题，自然就熟练了。

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