“算术-几何平均”既不是算术平均,也不是几何平均。它首先被德国数学家高斯发现并研究,被誉为“数学王子”。算术——几何平均,当然和“算术平均”、“几何平均”这些概
“算术-几何平均”既不是算术平均,也不是几何平均。它首先被德国数学家高斯发现并研究,被誉为“数学王子”。算术——几何平均,当然和“算术平均”、“几何平均”这些概念有很深的关系。我们知道,任何数学概念或定理,即使简单,只要和高斯有关,就不会简单。有了耐心,我们再来看看高斯对算术-几何平均数的研究。
预备知识
对于两个正实数A和B(我们设0 < A≤b),(a+b)/2称为A和B的算术平均值,√ab称为A和B的几何平均值。
我们有基本的不平等,
等号成立当且仅当A = B。
不难证明:
从数字的角度来看
从外形来看
一目了然。
正文
算术平均和几何平均的概念相当简单,大部分人都认识到了基本不等式,可以说是成功的成果。如果继续学习,只有两个方向:
首先,从两个数字推广到三个、四个甚至任何N个正数:
第二,研究其他类型的平均值,如立方平均值、平方平均值、调和平均值(倒数平均值)以及它们之间的大小关系,得到更高级的基本不等式:
即“立方平均≥平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”。
上述不等式还可以推广到任意n个正数的情况。
大部分数学家都走到了这一步,可以说是圆满的成就。
高斯,但另一种方式。
平均,平均,既然叫“平均”,自然介于两者之间,调和最大和最小。完整的基本不等式应该是:
从A和B得到(a+b)/2和√ab。明显地
不到一半的距离。
设a1=√ab,b1=(a+b)/2,然后计算它们的算术和几何平均值,以及
同样,它们之间的距离是
这个过程可以无限期地继续下去,也就是说
那么单调递增序列{an}有一个上界,单调递减序列{bn}有一个下界,当n趋于无穷大时,
所以序列{an}和{bn}收敛到同一个极限。
高斯称这个极限为A和b的算术-几何平均值,记为AGM(a,b)。
高斯当时只研究算术-几何平均数。但顺着他的思路,当然也可以发明出算术-平方平均、算术-调和平均、平方-调和平均等概念。只是在上面的迭代过程中,an和bn分别取an-1和bn-1的不同平均值。
这些平均值很容易计算。如果一个程序经过多次编译迭代,可以得到精度很高的结果,而且收敛很快。
比如1和2,边肖用MATLAB编程,它们的算术-几何平均值约为1.456791031046907,算术-平方平均值约为1.546462489,平方-调和平均值约为1.4878.888888886如果有兴趣可以尝试计算一下其他组合的平均值。在计算过程中,边肖发现了一个非常有趣的结论。限于篇幅,暂且不展示。
本来两个数的平均,算术平均还是几何平均,很简单,计算简单,结果简单。对于1和2,它们的算术平均值为1.5,几何平均值为√2,平方平均值为√(5/2),调和平均值为4/3。但是,这么简单的一和二,他们的算术-几何平均看起来好丑啊!1.456791031046907 .....好像是个超越数!!!到底是谁?
高斯不仅仅满足于数值运算。很快,他找到了算术-几何平均AGM(a,b)的解析表达式:
ππ,三角函数,微积分.....诸如此类。算术几何平均数如何与这些概念联系在一起???
那时,高斯22岁。
后续
研究这些平均数有什么用?
对于我们来说,它可以作为一个数学游戏,可以启发我们的思维。也许,它可以应用在一些我们还不知道的领域。
但是高斯,他对算术-几何平均数的研究绝不是一时的游戏。
作为一个“能从某种角度掌握星辰空和深奥数学的天才”,高斯发现算术-几何平均数与椭圆积分有着深刻的联系。
比如很多人熟悉的双纽线。双纽线是一个定点轨迹(像椭圆一样),它与平面上两个定点的距离的乘积是常数,看起来像一个无限的符号。方程式如下:
学太多数学的人应该知道双纽线的区域是2a^2.但是让我们看看双纽线的周长。
为简单起见,取上图中的a=1,其极坐标方程为
根据对称性,它的周长
利用高斯公式计算AGM(a,b),我们可以很容易地得到双纽线的周长。
为了纪念高斯,叫做
是高斯常数。
双纽线的周长计算其实是一个椭圆积分,椭圆积分的反演是一个椭圆函数。椭圆函数可以说是19世纪数学领域在复变函数论方面最辉煌、最壮观的成就,没有之一。
人类历史上研究的第一个椭圆函数是双纽线周长的积分反演。研究它的是高斯。
椭圆在数论中的应用发展了模函数、模曲线、自守形式等理论。上世纪末怀尔斯证明费马大定理,使用的基本工具之一就是椭圆函数。
思考题
高斯在22岁时发现了这个定理
有人对证明感兴趣吗?证明只用到了高等数学的基础知识,没有知识盲区。有兴趣的话私信或留言告诉我,分享一下你的思考和证明过程。视情况而定,我会在下篇文章中贴出。
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