鸡兔同笼方程解法过程(小学鸡兔同笼方程解法)

相信很多人都听说过著名的“鸡兔同笼”问题。对于无忧无虑的小学生来说，心理阴影还不够，但绝对是巨大的挑战。问题是这样的:在一个笼子里，有两种动物，鸡和兔子。这两种动物有35个头和94只脚。那么鸡和兔子分别有多少只呢？

当然，题目中的鸡和兔子都是正常的，没有残疾和三头六臂。基于此，我们如何在诚实的思考后得出答案？

《孙子算经》的解法

其实这个问题最早出现在《孙子兵法》中，并给出了解决方法:

所有动物的脚数除以2，得47；每只鸡有一对脚，兔子有两对脚。假设笼子里全部是鸡的话，脑袋35个，脚也应该是35对，而事实上有47对脚。如果把一只鸡换成一只兔子的话，47-35=12，说明需要12只鸡被替换为兔子，于是得到兔子的数目。鸡的数目自然就是35-12=23只了。

对于上面的解决方案，就不是那么容易理解了，尤其是小学生。我想很多人看了这个回答后都暗暗佩服这个方案:这个方案真是“孙子”！

有趣的算法

你一声令下，让每只鸡都自立，每只兔子都会自立。此时落地脚47只，头35只。一个鸡头对应一个头，一个兔头对应两只脚；那么脚的数量减去头的数量就是兔子的数量。知道了兔子的数量，自然就知道了鸡的数量。所以有12只兔子和23只鸡。

有人质疑这个顺序，说如果鸡可以单脚落地，为什么不直接让鸡数？好吧，友善点。让我们把这个问题留给我们敬爱的伟大生物学家。什么都做不了，还得给别人一碗饭吃。

但无论是《孙子兵法》的算法，还是与小动物交流的能力，都结合了这个特定的背景，给出了具体的解决方案。如果把几条蜈蚣放在笼子里，还是按照上面的算法算，估计谁算谁就要挨骂了。数学的使命是抛开具体事物，只研究它们的数量关系，寻找通用算法。

机械地尝试

如果我换个标题:在一个笼子里，养着一只鸡和一只兔子。这两只动物有两个头和六只脚。有多少只鸡和兔子？

相信很多人瞬间就得到答案。如果改成共3头8脚呢？也应该有更多的小学生能得到答案。而这个思考过程其实很简单:尝试！如果笼子里的小动物数量少，试一两次就能得到答案；如果数量很大，懒人会忽略这个算法。

仍然考虑原问题中的笼子，通过尝试，无疑需要多尝试几次:

假如是1只鸡，34只兔子，那么脚一共是1×2+34×4=138>94，不对；假如是2只鸡，33只兔子，那么脚一共是2×2+33×4=136>94，不对；假如是3只鸡，32只兔子，那么脚一共是3×2+32×4=134>94，不对；……

于是我试了23只鸡和12只兔子，问题解决了。当然，如果从兔子开始，尝试的次数会少很多。如果，在上述尝试的过程中，keen法检测到脚数在减少，你可能会尝试跳，比如在尝试5只鸡之后，直接尝试10只鸡...，这样可以更快的得到答案。

有些人会鄙视它。这种算法也叫算法。我甚至没有动摇我的精神。没错，这个算法比上面两个算法更通用。不管笼子里是什么小动物，都可以这样算；当然，这种方法是非常机械的，随着笼子里动物数量的增加，计算量也在迅速增加。

如果原问题有67个笼子，把这67个笼子里的鸡和兔子都放在一个大笼子里，你会得到:鸡和兔子有2345头，6298脚，那么鸡和兔子分别有多少只？

此时“尝试”算法仍然有效，但计算量明显增加。有什么好的方法处理机械计算？是啊！善良的计算机登场了，它能毫无怨言地按照“试错”算法快速计算出鸡和兔子的数量。当然，这种机械的“尝试”算法还可以改进，这是另一个话题。

方程

问题远未结束。如果把笼子换成农场，农场里除了鸡和兔子，还有鸭、鹅、肥猪和羊羔...同样，也考虑了寻找每种动物的数量的问题。即使动物总数不多，问题也明显更复杂。那么，有没有更通用的方法来解决这类问题呢？这就是方程或方程组的意义！

对于鸡兔同笼问题，转化为二元线性方程组，问题转化为解方程组问题，不考虑笼子里是鸡还是狗。

有了方程的解，我们自然不会采用上面那些具体的、烧脑的算法，包括机械试算法。即使是计算机也不应该有更高效的算法。不要！当然，原来的算法，计算量大，而且是机械的，可能不太适合实际使用，但是它的逻辑合理性和用于逻辑论证是没有问题的！