什么叫做傅立叶变换(傅立叶变换概念)

陈博士大学四年最痛苦的经历之一就是学习高等数学。

在那些我一直看不懂的公式中，印象特别深刻的一个是著名的“傅里叶变换”。

对于那些还在苦学这些知识的同学，我们找到了知乎大牛韩浩，请他给大家解释一下什么是傅立叶变换。

傅立叶分析是一种非常重要的数学分析方法。

但是，我们的数学课本却把它变成了很多学生的噩梦。今天，我们将带你重新认识傅立叶变换。

我想把这份文件送给大连海事大学的吴楠老师、刘晓明老师、王新年老师和张静波老师。

让读者不用看任何数学公式就能理解傅立叶分析。

傅立叶分析不仅仅是一种数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以往世界观的思维模式。

可惜傅立叶分析的公式似乎太复杂了，所以很多大一新生一上来就一头雾水，从此恨之入骨。

说实话，这么有意思的事情变成了大学里的杀手级课程，太严重了，还得怪编教材的人。(把教材变得更好玩会死吗？会死吗？)

所以我一直想写一篇有意思的文章来讲解傅立叶分析，高中生有可能看得懂的那种。

不管你看完这个后从事什么工作，我保证你都能看懂，你一定会感受到通过傅立叶分析看到另一个世界的快感。

P.S .在本文中，无论是cos还是sin，都用“正弦波”一词来表示简谐波。

什么是频域？

从我们出生开始，我们看到的世界就穿越了时间。股票的走势，人的高度，车的轨迹都会随着时间而变化。

这种以时间为参照物观察动态世界的方法叫做时域分析法。

而我们也理所当然地认为，世界上的一切都是随着时间不断变化的，永远不会停止。

但如果我告诉你换个角度看这个世界，你会发现这个世界是永恒的。你会认为我疯了吗？

我没疯，这个静止的世界叫频域。

我举个例子，从公式上来说不太恰当，但从意义上来说很贴切:

你理解中的一段音乐是什么？

这是我们对音乐最常见的理解，一种随时间变化的振动。但我相信对于乐器小行家来说，对音乐更直观的理解如下:

好吧！下课了。再见，同学们。

是的，其实这一段可以到此结束。

上图是时域的音乐，下图是频域的音乐。所以频域的概念大家从来都不陌生，只是一直没有实现。

现在，我们可以回过头来看看第一个白痴的说法:世界是永恒的。

简化上面两张图:

时域:

频域:

在时域，我们观察到钢琴弦上下摆动，就像一只股票的走势；

在频域，只有一个永恒的音符。

因此

在你的眼里，多变的世界看似落叶，实则只是早已写在上帝怀里的一段音乐。

傅立叶告诉我们，任何周期函数都可以看作是不同振幅和相位的正弦波的叠加。

在第一个例子中，我们可以理解，任何一段音乐都可以通过敲击不同力度、不同时间点的不同键来组合。

贯穿时域和频域的方法之一是中川的傅立叶分析。傅立叶分析可分为傅立叶级数和傅立叶变换。

先说简单的。

二、傅里叶级数的频谱

举个栗子，有图有真相才能明白。

如果我说我可以把上面说的正弦波叠加成90度角的矩形波，你会相信吗？

你不会的，就像我一样。但是看看下面这张图:

第一张图是令人压抑的正弦波cos(x)

第二张图是两个可爱的正弦波cos(x)+a.cos(3x)的叠加

第三张图是四个弹动正弦波的叠加。

第四张图是便秘的10个正弦波叠加。

随着正弦波的数量逐渐增加，最终会叠加成一个标准的矩形。你从中学到了什么？

只要努力，就能弯直！)

随着叠加的增加，所有正弦波的上升部分逐渐使原本缓慢上升的曲线变得更加陡峭，而所有正弦波的下降部分抵消了到达最高点时继续上升的部分，使其成为一条水平线。

这样就叠加了一个矩形。

但是你需要多少个正弦波加起来才能形成一个标准的90度矩形波呢？可惜，答案是无限的。

上帝:我能让你猜猜我吗？)

不仅仅是矩形，任何你能想到的波形都可以用这种方式叠加正弦波。

这对于没有接触过傅立叶分析的人来说是第一个直观的困难，但是一旦接受了这个设定，游戏就变得有趣了。

或者上图中的正弦波累加成矩形波。让我们从另一个角度来看:

在这些图形中，前面的黑线是所有正弦波的总和，也就是越来越接近矩形波的图形。

后面排列不同颜色的正弦波就是组合成矩形波的分量。

这些正弦波按照频率从低到高从前到后排列，每一个波的振幅都不一样。

细心的读者一定发现了，每两个正弦波之间都有一条直线，不是分界线，而是振幅为0的正弦波！

也就是说，为了形成一条特殊的曲线，一些正弦波成分是不必要的。在这里，不同频率的正弦波成为频率分量。

好了，重点来了！！

如果我们把第一个频率的最低频率分量看作“1”，我们就有了构造频域的最基本单位。

对于我们最常见的有理数轴，数字“1”是有理数轴的基本单位。

时间域的基本单位是“1秒”。如果我们把一个角频率的正弦波cos(t)作为基础，那么频域的基本单位就是ω0。

有了“1”，就需要“0”来构成世界，那么频域的“0”是什么呢？Cos(0t)是一个无限周期的正弦波，也就是一条直线！

因此，在频域中，频率0也称为DC分量。在傅里叶级数的叠加中，它只是相对于数轴向上或向下影响整个波形，而不改变波形的形状。

接下来我们回到初中，回忆一下死去的八戒，啊不，死去的老师是怎么定义正弦波的。

正弦波是圆周运动在直线上的投影。所以频域的基本单位也可以理解为一个一直在旋转的圆。

介绍了频域的基本成分后，我们可以看看矩形波在频域中的另一种表现:

这是什么奇怪的东西？

这是矩形波在频域中的样子。是不是完全认不出来了？

教科书一般都是在这里给出，然后留给读者无尽的遐想和无尽的吐槽。

事实上，对于教科书来说，只有一张图就足够了:频域图像，也称为频谱，是—

再清楚一点:

可以发现，在频谱中，偶项的幅度都是0，对应的是图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。

我们举一个傅里叶变换的动图来说明问题。

说实话，我学傅立叶变换的时候，Wiki的这个图还没有出现。当时就想到了这种表达方式。而且，Wiki没有展示的另一个频谱——相位频谱，后面还会添加。

但是在我们讨论相位谱之前，让我们回顾一下这个例子的意思。

还记得早先的一句话“世界是静止的”吗？这句话估计很多人已经抱怨很久了。

想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，其实都是时间轴上的一条不规则曲线，但实际上这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成的。

在我们看来不规则的是规则的正弦波在时域的投影，正弦波是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你会想到什么画面呢？

我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布。幕后有无数齿轮。大齿轮带动小齿轮，小齿轮带动小齿轮。最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。

我们只看到这个小人不规则地在幕前表演，却无法预测他接下来会走向何方。

但是幕布后面的齿轮总是那样旋转，从不停止。那就有点宿命论了。

说实话，这种对生活的描述是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的。那时候我们想都没想明白，直到有一天我学了傅立叶级数。

三、傅里叶级数的相位谱

前面的关键词是:从侧面。下面的关键词是:从下面看。

一开始我想回答很多人的一个问题:傅立叶分析的目的是什么？

先说最直接的用途。

无论是听广播还是看电视，我们都必须熟悉一个词——频道。

频道是频率的频道。不同的信道使用不同的频率作为传输信息的信道。让我们试试一件事:

首先，在纸上画一个sin(x)。不一定要标准，但意思都差不多。没那么难。

好，接下来画一个sin(3x)+sin(5x)的图。

不要说标准不标准。上升或下降的时候不一定要画曲线吧？

好吧，画不出来也没关系。我给你sin(3x)+sin(5x)的曲线，但前提是你不知道这条曲线的方程。现在我需要你把sin(5x)从图片中去掉，看看还剩下什么。

这基本不可能。

但是在频域呢？很简单，就几条竖线。

所以很多在时域看似不可能的数学运算，在频域却很容易逆向。这就是需要傅里叶变换的地方。

尤其是从一条曲线中去掉一些特定的频率成分，工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松做到。

当然，傅立叶分析还有其他更重要的用途，我们会在发言时提到。

让我们继续看相位谱:

通过从时域到频域的变换，我们从侧面得到一个频谱，但是这个频谱并不包含时域的全部信息。

因为频谱只代表每个对应正弦波的幅度，没有提到相位。

在基本正弦波Asin(wt+θ)中，振幅、频率和相位缺一不可，不同的相位决定了波的位置。所以对于频域分析，只有频谱(振幅谱)是不够的。我们还需要一个相位谱。

那么这个相位谱在哪里呢？我们来看下图。这一次，为了避免图片的混乱，我们使用了一张有7个波叠加的图片。

由于正弦波是周期性的，我们需要设置一些东西来标记正弦波的位置。那些是图片上的小红点。

小红点是离频率轴最近的峰值，这个峰值离频率轴有多远？

为了看得更清楚，我们把红点投影到下平面，投影出来的点用粉色的点表示。

当然，这些粉红色的点只是表示峰值与频率轴的距离，而不是相位。

这里需要纠正一个概念:时差不是相位差。

如果把所有周期都看成2Pi或者360度，相位差就是一个周期内时间差的比例。我们将时间差除以周期，再乘以2Pi，得到相位差。

在一幅完整的立体图中，我们依次将投影时差除以频率的周期，得到底部相位谱。

所以光谱是侧面看的，相位光谱是下面看的。

下次你偷看女生裙底的时候，你可以告诉她:“不好意思，我只是想看看你的相谱。”

注意，相位谱中的相位除0外都是π。因为cos(t+Pi)=-cos(t)，实际上相位为Pi的波只是上下翻转。

对于周期方波的傅立叶级数，这样的相位谱已经很简单了。

另外，值得注意的是，由于cos(t+2Pi)=cos(t)，所以相位差是周期性的，Pi与3pi、5pi、7pi同相。人工相位谱的取值范围定义为(-pi，Pi)，所以图中的相位差都是Pi。

最后，一个大集合:

第四，傅立叶变换(Fourier Transformation)

相信通过前面的讲解，大家对频域和傅立叶级数有了全新的认识。

但是文章开头我说的关于钢琴乐谱的例子，这个栗子是公式错误，而是概念的典型例子。所谓的公式错误在哪里？

傅立叶级数的本质是将一个周期信号分解成无限多个独立的(离散的)正弦波，但宇宙似乎并不是周期性的。我在学习数字信号处理的时候曾经写过一首打油诗:

过去连续非周期性

不连续回忆期

你是ZT和DFT。

不要回去

在这个世界上，有些事情一时半会儿是不会再来的，时间永远不会停止在时间里标记那些难忘的过往。

但这些东西往往会成为我们珍贵的记忆，每隔一段时间就会在我们的大脑中周期性地弹出来。

可惜这些记忆都是零散的片段，往往只有最快乐的记忆，而平淡的记忆却渐渐被我们遗忘。

因为过去是连续的非周期信号，而记忆是周期的离散信号。

有没有数学工具可以把连续的非周期信号转化成周期的离散信号？

对不起，我真的不知道。

比如傅立叶级数，在时域上是周期的连续函数，在频域上却是非周期的离散函数。

我们接下来要讲的傅立叶变换，就是把时域的非周期连续信号转换成频域的非周期连续信号。

算了，还是上图方便大家理解:

或者我们可以从另一个角度来理解:傅里叶变换实际上是一个无限周期函数的傅里叶变换。

所以钢琴谱其实并不是一个连续的谱，而是时间上很多离散的频率，但是真的很难找到第二个这么贴切的比喻。

因此，傅里叶变换在频域中从离散谱变为连续谱。那么连续光谱是什么样子的呢？

为了方便比较，这次我们从另一个角度来看光谱，也就是傅立叶级数中用的最多的一个。我们从更高频的方向来看。

以上是离散谱，那么连续谱是什么样子的呢？

充分发挥你的想象力，想象这些离散的正弦波越来越近，逐渐变得连续……直到变得像波涛起伏的大海:

很抱歉，为了让这些波浪更清晰可见，我没有选择正确的计算参数，而是选择了一些参数让画面更漂亮，否则画面看起来就像屎一样。

但是，通过对比这两张图，你就能明白怎么从离散谱变成连续谱了吧？

原来的离散谱叠加成了连续谱的累加。所以在计算上从求和符号变成了积分符号。

然而，这个故事还没有结束。接下来，我保证会给你看一张比上图更漂亮更壮观的图，但这里需要引入一个数学工具来延续故事。这个工具是-

五、宇宙第一公式:欧拉公式

虚数I的概念在高中的时候大家都有所触动，但是那时候我们只知道它是-1的平方根，但是它的真实含义是什么呢？

这是数轴。数轴上有一条红色线段，长度为1。

当乘以3时，其长度发生变化，变成蓝色线段，而乘以-1时，变成绿色线段，或者线段在数轴上绕原点旋转180度。

我们知道乘以-1实际上是把I乘以两次来把线段旋转180度，那么把I乘以一次怎么样？

答案很简单——旋转90度。

同时，我们得到一个垂直的虚轴。实数轴和虚数轴一起构成复平面，也称为复平面。

这样，我们知道一个函数乘以虚数I-旋转。

现在，有请宇宙第一帅公式欧拉公式隆重登场——

这个公式在数学领域的意义远大于傅立叶分析，但由于它的特殊形式——当x等于π时，它是宇宙中第一个帅公式。

这个公式的关键作用是将正弦波统一成一个简单的指数形式。让我们来看看图像上的含义:

欧拉公式描述的是复平面上随时间变化做圆周运动的点。随着时间的变化，变成了时间轴上的螺旋线。

如果只看它的实部，也就是螺旋线在左侧的投影，就是最基本的余弦函数。右边的投影是正弦函数。

这里不需要太复杂，下面的内容大家理解就够了。

不及物动词指数形式的傅立叶变换

借助欧拉公式，我们知道正弦波的叠加也可以理解为实数空之间螺旋线叠加的投影。

而如果用一个栗子的形象来理解，螺旋的叠加是什么？

光波

我们在高中的时候学过自然光是不同颜色光的叠加，最著名的实验是牛顿的三棱柱实验:

所以其实我们很早就接触到了光的光谱，只是不知道光谱更重要的意义。

但不同的是，傅里叶变换得到的光谱不仅仅是有限频率范围的可见光的叠加，而是从0到无穷大所有频率的组合。

在这里，我们可以从两个方面来理解正弦波:

第一种之前已经提到过，就是螺旋线在实轴上的投影。

另一个需要借助另一种形式的欧拉公式来理解:

将以上两个公式相加，除以2得到:

这个公式怎么理解？

我们刚才说过，e^(it)可以理解为逆时针旋转的螺旋线，而e (-it)可以理解为顺时针旋转的螺旋线。

而cos(t)是这两条旋向不同的螺线叠加的一半，因为这两条螺线的虚部互相抵消了！

例如，两个偏振方向不同的光波抵消了磁场，使电场加倍。

这里我们逆时针旋转时称为正频，顺时针旋转时称为负频(注意不是复频)。

好了，刚才我们已经看到了大海——连续傅里叶变换光谱。现在想一想，连续螺旋会是什么样子:

是不是很美？

猜猜这个图在时域是什么样子的？

哈哈，有没有被狠狠扇耳光的感觉？数学就是这样一种东西，把简单的问题复杂化了。

对了，像大海螺的图，为了方便查看，我只展示了正频部分，负频部分没有展示。

如果你仔细看，海螺图上的每一个螺旋都可以看得很清楚。

每个螺旋都有不同的振幅(旋转半径)、频率(旋转周期)和相位。

把所有的螺旋连接成一个平面就是这幅海螺图。

好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换和傅里叶级数有了形象的理解。最后用一张图总结一下:

好了，傅立叶的故事终于讲完了。

本文转载自知专栏:与时间无关的故事，作者韩浩。

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