三棱柱的展开图(三棱柱截面动画演示)

2020高中数学高考复习之间几何的表面积和体积空

2020高中数学高考复习之间几何的表面积和体积空

1.空之间几何的结构特征

多面体

(1)棱镜的侧边平行且相等，上下底面为全等多边形。

(2)金字塔的底是任意多边形，边是有公共顶点的三角形。

(3)平截头体可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面为相似的多边形。

旋转体

(1)将一个矩形绕着一边的直线旋转，可以得到一个圆柱体。

(2)将直角三角形绕一条有直角边的直线旋转，可以得到圆锥。

(3)圆台可由直角梯形绕垂直于底边腰的直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截锥得到。

(4)球可以用它的直径绕直线旋转一个半圆或圆得到。

2.空之间的几何图形的直接视图

(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy。画直视图时，分别对应X′轴和Y′轴，两轴相交于点O′，使∠X′O′Y′= 45°，由它们确定的平面代表水平面；

(2)已知图形中平行于X轴或Y轴的线段，在直观图形中分别绘制为平行于X’轴和Y’轴的线段；

(3)已知图形中平行于X轴的线段在直视图形中保持原长度不变；平行于Y轴的线段具有原始长度。

3.空之间的几何三视图

空之间的几何三视图是通过正投影得到的。在这种投影下，平行于投影平面的平面图形留下的阴影的形状和大小与平面图形完全相同。三视图包括前视图、左视图和俯视图。

4.圆柱、圆锥、桌子和球的表面积和体积

命名几何体

表面积

卷

圆柱体(棱镜和圆柱体)

表面积s = s边+2s底

V=Sh

圆锥体(金字塔和圆锥体)

s表面积= s边+s底

V=Sh

表格(平截头体和平截头体)

表面积= s边+s顶+s底

V = (s上+s下+) h

球

S=4πR2

V=πR3

1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)

(1)有两个平行面且其他面都是平行四边形的几何体是棱柱。(×)

(2)一个面是多边形，其他面是三角形的几何体是金字塔。(×)

(3)当水平∣∣∣∣∣∣∣时

(4)立方体、球体、圆锥体三视图相同。(×)

(5)圆柱体的侧面展开图为矩形。(√)

(6)平台的体积可以换算成两个圆锥体的体积之差来计算。(√)

2.(四川，2013)如果一个几何图形的三视图如图所示，则该几何图形的直接视图可以是()

d答案

从三视图分析可以看出，上部为圆台，下部为圆柱体。选择d .

3.(2013年国家课程标准ⅰ)

如图，有一个水平放置的透明立方体容器，没有盖子。

容器高8厘米，在容器口放一个球，然后往容器里注水，直到球面刚好。

触摸水面时，测得的水深为6厘米。如果不考虑容器的厚度，球的体积为

( )

A.立方厘米

C.立方厘米

回答a

分析

制作如图所示的球轴横截面的图像，根据含义be = 2，AE = ce = 4，

设DE = x，所以AD = 2+x，因为AD2 = AE2+DE2，解是x = 3，所以球的

半径ad = 5，

所以v = π R3 =。

4.三角形对应于在直视下边长为1的正三角形。原三角形的面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _。

回答

通过分析斜二分法可知，直视图是边长为1的正三角形，其原图是底为1、高为0的三角形，所以原三角形的面积为。

5.如果圆锥体的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，那么圆锥体的体积是_ _ _ _ _ _ _。

回答π

侧面展开图中扇形半径为2，锥底半径为1。

∴h==,∴V=π×1×=π.

问题类型1 空之间的几何结构特征

示例1

(1)下列说法正确的是()

A.有两个互相平行的平面，所有其他面都是平行四边形的多面体是棱柱。

B.金字塔的四条边可以是直角三角形。

C.有两个平面相互平行，其他面为梯形的多面体是截头体。

D.延伸后，平截头体的侧边不一定相交于一点。

(2)给出以下命题:

①在圆柱体上下底面的圆周上取一点，这两点的连线就是圆柱体的母线；

②一面为多边形，另一面为三角形的几何图形是金字塔；

③直角三角形绕任一边的直线旋转一周形成的几何图形是圆锥；

④平截头体的上下表面可以不相似，但侧边长度必须相等。

其中正确命题的数量是()

A.0 B.1 C.2 D.3

启蒙从多面体和旋转体的定义入手，用实例或几何模型来理解几何的结构特征。

答案(1)B (2)A

分析(1)A是错的，如图1；b是正确的，如图2，其中底部ABCD是长方形，证明∠PAB和∠PCB都是直角，这样四条边都是直角三角形；c，如图3所示；d、根据平截头体的定义，其侧边必须相交于同一点。

(2)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴线时才是总线；②不一定，因为“其他所有面都是三角形”不等价于“其他所有面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定。当斜边所在的直线为旋转轴时，其他两条边旋转形成的曲面所围成的几何不是圆锥，如图2所示，是由两个同底圆锥组成的几何；④错。平截头体的上下表面是具有相似平行边的多边形。每个侧边的延长线相交于一点，但侧边的长度不一定相等。

思维的升华(1)两个面平行，其他面都是平行四边形的几何体，不一定是棱柱。(2)由于锥台是由金字塔定义的，所以在解决锥台问题时要注意“把锥台还给圆锥”的解题策略。(3)旋转体的形成不仅取决于旋转的是哪一个图形，还取决于旋转轴是哪一条直线。

如图，是一个无盖立方体盒子A、B、c的平面图。

在展开图上是三个点，那么在立方体方框中∠ABC的值是()

A.30 B.45

公元60年至90年

答案c

分析

缩小立方体，如图，连接AB，BC，AC，△ABC为正三。

角度，那么∠ ABC = 60。

问题2 空之间几何的三视图和直接视图

示例2

(1)如图，一个几何的前视图和左视图都是边长为1，体积为的正方形，那么这个几何

卷的俯视图可以是()

(2)

正三角形AOB的边长为A，建立如图所示的直角坐标系xOy，则

它的直观图形的面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _。

思维启示(1)从前视图和左视图可以看出，几何图形的高度为1，体积为

可以计算底部面积。俯视图可以通过底部面积的大小来判断。

(2)根据直接作图规则确定平面图形与其直接作图区域的关系。

答案(1)C (2)a2

解析(1)从这个几何体的前视图和左视图可以看出，这个几何体是一个圆柱体，其高度为1。从它的体积可以看出，这个几何图形的底面积是1，B的面积是，C的面积是，D的面积是，所以选C。

(2)

画出坐标系X′O′Y′，直观△OAB O′A′B′(如

图)。d’是O’A’的中点。

Yi知道d' b' = db，

∴s△o′a′b′=×s△oab=×a2=a2.

思维的升华(1)三视图中，前视图与左视图一样高，前视图与顶视图一样长，左视图与顶视图一样宽。也就是“长短合适，宽度相等，高度高”。

(2)解决“斜二分法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽可能以原垂直直线或图形对称轴为坐标轴，以图形的对称中心为原点。注意两幅图中关键线段的长度关系。

(1)(湖南，2013)已知棱柱长为1的立方体俯视图是面积为1的正方形，所以立方体正视图的面积不能等于()

公元前一世纪。

(2)

如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的平面图形的直观视图，

其中O' a' = 6cm，O' c' = 2cm，则原图形为()

A.平方

B.矩形的

C.菱形

D.一般平行四边形

答案(1)C (2)C

解析(1)从俯视图可知，一个立方体的底部是水平放置的，其主视图为矩形，立方体的高度为一边长，另一边长至少为1且至多为1，面积范围应为[1，]，不能等于。

②如图所示，在原始图形OABC中，

应该有od = 2o′d′= 2×2。

=4厘米，

CD = C′D′= 2厘米。

∴OC=

==6厘米，

∴OA=OC，

因此，四边形OABC是菱形的。

三个问题之间的几何表面积和体积空

示例3

(1)如果图中示出了空之间的一个几何图形的三视图，则该几何图形的表面积为()

32+8

C.48+8

(2)已知一个几何图形的三视图如图，其中前视图和左视图由直角三角形和半圆组成，俯视图由圆和内接三角形组成。根据图中的数据，可以得出几何图形的体积为()

A.+ B.+

C.+ D.+

思维启示:先从三视图确定几何的构成和度量，再计算表面积或体积。

答案(1)C (2)C

分析(1)

从三个视图中，几何图形的直接视图显示在图中，几何图形的下底面

是边长为4的正方形；上底面为长4、宽2的长方形；两个梯形边

垂直于底部，上底长2，下底长4，高4；另外两条边是矩形的，

宽度为4，长度为=。

因此，表s = 42+2× 4+× (2+4 )× 4× 2+4× 2 = 48+8。

(2)从三视图确定几何形状是半球和三棱锥的组合，

如图，其中AP，AB，AC垂直，AP = AB = AC = 1，

因此，AP⊥飞机ABC、

S△ABC=AB×AC=，

因此，三棱锥的体积v1 p-ABC =×s△ABC×AP =××1 =，

Rt△ABC是半球底部的内接三角形，

所以球的直径2r = bc =，

Get r =，

所以半球的体积v2 =×××()3 =，

因此，体积v = v1+v2 =+

思维的升华解决这类问题需要先从三视图确定几何体的结构特征，确定是否是组合体，由哪些简单几何体组成，并准确确定这些几何体之间的关系，将其切割成一些简单几何体，然后计算每个简单几何体的体积，最后计算组合体的体积。

(2012年国家课程标准)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球面O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC是球面O的直径，SC = 2，则这个棱锥的体积为()

A.B.

C.D.

回答a

由于解析三棱锥S-ABC和三棱锥O-ABC的底面都是△ABC，O是SC的中点，所以三棱锥S-ABC的高度是三棱锥O-ABC的两倍。

所以三棱锥S-ABC的体积是三棱锥O-ABC的两倍。

在三棱锥O-ABC中，其边长为1，如图。

S△ABC=×AB2=，

高od = =，

∴VS-ABC=2VO-ABC=2×××=.

变换思想在立体几何计算中的应用

举例:(12分)

如图所示，在直棱镜ABC-A′B′C′中，底面的边长等于3。

三角形，aa′= 4，m是aa′的中点，p是BC上的点，被p边。

从棱镜边通过边CC’到M的最短路径的长度是，设该最短路径等于

CC '的交点是n，求:

(1)三棱柱的侧面展开图的对角线长度；

(2)长度2)PC和NC；

(3)三棱锥的体积C-MNP。

思维的启示(1)侧面展开的图片在哪里剪平；

(2)扩展图上Mn+NP的最短形式是什么；

(3)三棱锥的底座是谁？

标准溶液

解(1)三棱柱的侧面展开图是一个一边长分别为4和9的长方形，所以对角线长=。[2分]

(2)将三棱柱的边沿着边BB’展开，如下图所示。设PC = x，那么MP2 = ma2+(AC+x) 2。

MP =，MA=2，AC=3，

∴ x = 2，也就是PC = 2。

NC∨AM，所以=，那就是=。

∴ NC =。[8分]

(3)S△PCN=×CP×CN=×2×=。

在三棱锥m-PCN中，m到表面PCN的距离，

即h =× 3 =。

∴VC—MNP=VM—PCN= h S△PCN

= ×× =.[12分]

温馨提醒(1)解决空之间几何曲面最大值问题的根本思想是“展开”，即将空之间几何的“曲面”展开在一个平面上，将问题转化为平面上的最大值问题。

(2)如果空之间的已知几何是多面体，根据问题的具体情况，可以沿着多面体中的某条边或两个面的交线展开多面体，将不在一个平面内的问题转化为一个平面。

如果是圆柱或圆锥，可以沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题。

(3)这个问题的易错点是不知道该切平哪边边，不能正确画出侧面展开图。我缺乏将空之间的图形转化为平面图形的意识。

方法和技巧

1.要掌握棱柱体和棱锥体各部分的结构特点，计算问题往往转化为三角形来求解。

2.旋转体要把握“旋转”的特征，明确底、侧和展开图形的形状。

3.三视图绘画:

(1)实线和虚线的绘制:分割线和可见轮廓线为实线，不可见轮廓线为虚线；

(2)理解长度对齐，宽度齐平，高度相等。

4.直接绘图:平行度和长度。

5.求几何的体积，要注意分割和形状填充。不规则的几何图形可以通过分割或形状填充转换成规则。

的几何解。

6.与球有关的组合问题，一个是内接的，一个是外切的。解题时要仔细分析图形，明确切点和接触点的位置，确定相关元素之间的数量关系，做出合适的截面，如球内接于立方体，切点为立方体各面的中心，立方体的边长等于球的直径；球面被一个立方体外切，立方体的顶点在球面上，立方体的对角线长度等于球面的直径。

错误和预防

1.平台可以看作一个圆锥体，但必须强调的是，横截面与底面平行。

2.注意空之间不同的几何放置对三视图的影响。

3.几何展开和折叠时，要把握前后图形的关系，找出数量关系。

a组特殊基础训练

(时间:40分钟)

一、多项选择题

1.在五角棱镜中，连接两个任边不同、任底不同的顶点的线称为它的对角线，所以五角棱镜的对角线数是()。

A.20 B.15

C.12 D.10

d答案

分析

如图所示，在五角棱镜ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点a的对角线

有两条线:AC1和AD1。类似地，从点B、C、D和E有两条对角线，

共2× 5 = 10(件)。

2.(福建，2012)一个几何体的三视图在形状和大小上都是一样的，那么是哪一个呢？

什么身体不能是()

A.球体b .三棱锥

C.立方体d .圆柱体

d答案

在分析选项中考虑几何三视图的形状和大小，可以通过分析得到。

球体和立方体的三视图在形状和大小上都是相同的。首先，排除选项A和c .

对于如图所示的三棱锥O-ABC，

当OA、OB和OC垂直且OA = OB = OC时，

它的三视图形状大小都一样，所以排除选项B。

无论圆柱体如何设置，其三视图都不会具有相同的形状，

所以答案是d。

3.(重庆，2013)若图中所示为一个几何图形的三视图，则该几何图形的体积为()

A.公元前200年至公元240年

答案c

从三视图分析可知，几何形状为正四棱柱，底为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，所以面积为S = 20。棱镜的高度是10，所以体积V = SH = 20× 10 = 200。

4.如果图中显示了一个物体的三视图，那么这三视图所描述的物体的直接视图是()

d答案

从俯视图可以看出是B和D中的一个，从正视图和左视图可以看出B是错的。

5.图中显示了一个几何图形的三个视图，其中俯视图是一个半圆，那么该几何图形的表面积是()

A.π B.π+

C.π+ D.π+

答案c

根据三视图分析可知，几何形状为半圆锥，底半径为1，高为，∴表面积s = × 2× +× π× 12 +× π× 1× 2 =+

二。填写空问题

6.

如图，E和F分别是立方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1和ADD1A1。

BCC1的中心，然后是四边形BFD1E在立方体表面DCC1D1上的投影

是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(填写序列号)

②回答

解析四边形在曲面DCC1D1上的投影是②:B在曲面DCC1D1上的投影是C，F和E在曲面DCC1D1上的投影应该在边CC1和DD1上，而不在四边形内部，所以① ③ ④是错误的。

7.已知三棱锥A-BCD的所有边长都是，那么三棱锥的外切球面的表面积是_ _ _ _ _ _ _。

回答3π

分析

如图所示，构造立方体ANDM—FBEC。因为所有的三角金字塔A-BCD

所有的边都相等，所以立方体ANDM-FBEC的边长是1。所以这个立方体

捕捉的半径是。

很容易知道三棱锥A-BCD的外球是立方体ANDM—FBEC的外球，

因此，三棱锥A-BCD的外切球半径为。因此，三棱锥A-BCD的外切球面的表面积是S球面。

=4π2=3π.

8.(江苏，2013)如图所示，三棱柱A1B1C1-ABC中，D、E、F分别是AB、AC、AA1的中点。设三棱柱F-Ade的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1 ∶ V2 = _ _ _ _ _ _ _。

答案1: 24

设解析三棱锥立面的高度为h，

然后=

=.

第三，回答问题

9.图中显示了几何体的三视图和相关数据。求这个几何体的表面积。

此几何图形是由轴截面切割的圆锥的一半。

根据图中数据可以看出，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高度为0，母线长度为2。几何体的表面积是两个半圆的面积之和，圆台侧面面积的一半和轴截面面积之和，所以这个几何体的表面积是S = π× 12+π× 22+π× (1+2 )× 2+× (2+4 )× =

10.已知上下底面为正三角形且中心线垂直于底面的三棱柱的两个底面的边长分别为30 cm和20 cm，其侧面积等于两个底面的面积之和。求棱镜的高度。

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，O和O1分别是两个底面的中心。

d和D1分别是BC和B1C1的中点，d D1是平截头体的倾斜高度。

从题意来看，A1 B1 = 20，AB = 30，

那么od = 5，O1D1= =，

从s侧= s上+s下，得到

×(20+30)×3DD1=×(202+302)，

Get DD1= =，

在直角梯形O1ODD1中，

O1O==4，

所以平截头体的高度是4厘米。

b组专项能力提升

(时间:30分钟)

1.四角锥e-ABCD中，底部ABCD为梯形，ab∑CD，2ab = 3cd，m为AE的中点。设e-ABCD的体积为v，则三棱锥m-EBC的体积为()

A.V B.V

C.V D V

d答案

设B点到EMC平面的距离为h1，D点到EMC平面的距离为h2。

MD连接。

因为m是AE的中点，

因此，VM-ABCD = v .

因此ve-MBC = v-ve-MDC。

而ve—MBC = VB—EMC，ve—MDC = VD—EMC，

所以= =

因为B，D到平面EMC的距离就是到平面EAC的距离，而AB∑CD，且2AB=3CD，

所以=

因此，ve-MBC = VM-EBC = v .

2.给定如下图所示的四角锥P-ABCD的三视图，四角锥P-ABCD的四个边的最大面积是()

A.3 B.2 C.6 D.8

答案c

因为分析三视图重构的几何图形是一个四角形金字塔，顶点在底部的投影是底部矩形长边的中点，底边分别是4和2，后面是一个腰为3的等腰三角形，所以后面三角形的高度为=，所以后面三角形的面积为×4×2，两边的面积为× 2× 3 = 3，后面三角形的面积为×4×6。

3.表面积为3π，侧面展开图为半圆的圆锥体，直径为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

2个答案

设解析锥的母线为l，锥底半径为r，则π L2+π R2 = 3π，π L = 2π R，∴ r = 1，即锥底直径为2。

4.

如图，在四角锥P-ABCD中，底面为正方形，PC垂直于底面ABCD。

图为金字塔的前视图和左视图，为全等等腰线，腰长6 cm。

角度三角形。

(1)根据图中给出的正视图和左视图，画出相应的俯视图，并计算俯视图的面积；

(2)求PA。

解决

(1)四棱锥的平面图是一个边长为6厘米(包括对角线)的正方形，如图。

它的面积是36平方厘米。

(2)从左视图可以得到PD = = 6。

从前视图可以看出，AD = 6，而AD⊥PD、

因此，在Rt△APD中，

PA===6厘米。

5.已知一个圆锥体的底半径为R，高为H，内部有一个高为X的内接圆柱体。

(1)求圆柱体的侧面积；

(2)当x的值为时，圆柱体的侧面积最大？

解决方案(1)

制作圆锥体的轴向截面，如图所示。

因为=，R = r=R-x，

所以S圆柱边= =2πrx

= 2πRx-x2(0 & lt；x & lth)。

(2)因为-< 0，

所以当x = =，S圆柱的边最大。

因此，当x =，即圆柱体的高度是圆锥体高度的一半时，圆柱体的侧面积最大。