yds是什么意思(人身体缺少yds是什么意思)

1现代数学的兴起现代数学的兴起始于16世纪。一是代数如三角学从天文学中分离出来，透视法产生了射影几何。对数的发明改进了计算，但它的主要成就应该是在求解三次和四次代数方程以及代数的符号化方面的突破。

2 解析几何的诞生

自17世纪以来，各种数学理论和分支如雨后春笋般出现。本质上，现代数学是关于变量的。文艺复兴以来资本主义生产力的发展对科学技术提出了新的要求。例如，机械的广泛使用导致了对机械运动的研究；贸易驱动的海运业的发展，要求更准确、更方便地确定船舶的位置，这就需要研究天体运动规律；武器的改进促进了弹道问题的研究。所有这些问题表明，对运动和变化的研究已经成为自然科学研究和数学研究的中心问题。

数学的第一个里程碑是解析几何的发明。解析几何作为几何学的一个分支，其基本思想是将坐标的概念引入平面，所以又叫坐标几何。用解析几何的方法，我们可以把任何形状为f(x，y)=0的代数方程(通过方程的解)对应到平面上的一条曲线上。这样，一方面可以将几何问题转化为代数问题，然后通过研究代数问题发现新的几何问题。另一方面，代数问题有一个几何解释。

3 微积分学的先驱

尤其是微积分的萌芽可以追溯到古代。面积和体积的计算自古以来就是数学家们感兴趣的问题。在古希腊、中国和印度的著作中，有许多用无穷小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长度的例子。包括阿基米德和祖冲之，他们成功地计算出了球的体积；芝诺悖论表明，一个普通的常数可以被无限分割。在微分学中，阿基米德和阿波罗尼斯分别讨论了螺线和圆锥的切线，但这些都只是个别的或静态的。

微积分的建立主要是为了解决17世纪面临的科学问题。17世纪上半叶，欧洲在天文学和力学方面相继取得重大进展。首先，荷兰的一位眼镜商发明了望远镜。伽利略·伽利雷(1546—1642)，一个意大利人得知这一消息后，迅速建造了一架高倍望远镜。他用望远镜发现了太阳系许多不为人知的秘密，从而证实了15世纪波兰天文学家哥白尼(N.Copernicus，1473-1543)的“日心说”是正确的。与此同时，比他小7岁的德国天文学家开普勒(J. J.Kepler，1571-1630)在获得了他的丹麦前辈、同行第谷·布拉尼(peer Schmidt，1546-1601)的观测数据后，用更精确的数学推导过程证明了“日心说”。

哥白尼和第谷都认为行星的轨道是圆的(伽利略从未否认这一点)，但开普勒第一行星运动定律确定“行星的轨道是椭圆的，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上”。据说有一次他去逛街，对商家对酒桶体积的粗略估算非常不满，于是他试图找到一种计算旋转体体积的方法，并由此推广了阿基米德发明的球形体积公式。开普勒使用的方法正是积分学中的“无穷小法”。用现代数学语言来说，就是用无数个无穷小元素的和来计算曲边的面积和旋转体的体积。

相比之下，意大利人卡瓦列里(1598-1647)更致力于数学研究。他一生的主要成就是发展了所谓的“无分”理论，即线、面、立体分别由无穷多个点、线、面组成。但是，卡瓦列里只能找到幂函数x ^ n的定积分，其中n必须是正整数。英国数学家沃利斯考虑把N换成分量数p/q，但他只得到p=1时的结果。

追溯微积分的路线，还可以追溯到微积分理论发现之前的三位前辈的工作，他们是笛卡尔、费马和巴罗。笛卡尔和巴罗(I.Barrow，1630-1677)试图求一般曲线的切线，分别采用了被称为“圆法”的代数方法和“微分三角形”的几何方法，而费马在求函数的极值时采用了微分学方法，唯一的区别是符号不同。事实上，他已经意识到可以用这种方法找到切线，但因为他给梅森神父写了一封信，他只是意味深长地说，“我将在另一个场合讨论它”。可以说费马是最接近微积分理论的。

4 牛顿的微积分

17世纪面临的新的科学问题与微积分密切相关。比如可以用曲线的切线来确定运动物体在某一点的运动方向，也可以计算光线进入镜头时与法线的夹角。函数的极值不仅可以用来计算炮弹最大射程的射角，还可以计算行星离太阳的最近距离和最远距离。另外还有这样一个问题:物体移动的距离可以表示为时间的函数，可以求出物体在任意时刻的速度和加速度。可以说，正是这个并不复杂的动力学问题及其逆问题，促使牛顿创立了微积分。

解析几何不仅将代数方法应用于几何，还将变量引入数学，为微积分的建立开辟了道路，但真正起关键作用的是函数概念的建立。1642年，在笛卡尔发表《解析几何原理》五年后，牛顿(I.Newton，1642-1727)出生在英国林肯郡的一个小村庄。那一年伽利略出生了。

牛顿建立的微积分方法被称为“流数技术”。他在剑桥大学上学时就开始研究它，两年后回到家乡林肯郡躲避瘟疫时有了突破。据牛顿自己说，他在1665年11月发明了“正流数技术”(微分学)，次年5月发明了“负流数技术”(积分学)。也就是说，牛顿不同于之前所有一直在寻找微积分的同龄人。他认为并解决了作为矛盾对立面的微分和积分(他的竞争对手莱布尼茨也是如此)。

1669年，回到剑桥的牛顿在朋友中散发了一本名为《用无穷方程分析》的小册子(此前，他曾从运动学的角度作过类似的论述)。和当时其他学者一样，他也是用拉丁文写的。

牛顿假设有一条曲线Y，它下面的面积是:

z=ax^n

其中n可以是整数或分数。给定X的无穷小增量叫做O，X轴、Y轴、曲线和纵坐标在x+o处围成的面积，他用z+oy，其中oy是面积的增量，那么，

z+oy=a(x+o)^n

利用自己发明的二项式展开定理，上面等号的右边有一个无穷级数。用上一个方程减去这个方程，方程两边除以O，省略仍含O的项，得到

y=nax^(n-1)

用现代语言来说，任意x点的面积变化率就是曲线在x点的y值；反之，如果曲线是y = nax (n-1)，那么它下面的面积就是z = ax n，这就是微分学和积分学的雏形。两年后，牛顿在一本名为《流数方法和无穷级数》的书中给出了更为广泛和明确的解释。他称这个变量为“流体”,称这个变量的变化率为“流动”,因此有了“流动”这个术语。

同时，牛顿还将他的正反流算术应用于切线、曲率、拐点、曲线长度、重力和重心的计算。

5 莱布尼茨的微积分

G.W .莱布尼茨(1646-1710)于1672年至1676年在巴黎居住的四年间，与荷兰数学家、物理学家惠更斯结识并交流，激发了他对数学的兴趣，开始研究求曲线的正切、面积和体积等微积分问题。莱布尼茨的微积分是以几何为基础的。确切地说，他首先(1673年)从帕斯卡关于圆的论文中获得灵感。

莱布尼茨创立微积分首先是出于对几何问题的思考，尤其是对特征三角形的研究。1673年，莱布尼茨提出了自己的“特征(直角)三角形”。莱布尼茨是这样想的:

如上图所示，设曲线C过原点，P(x，y)为曲线C上的任意一点，过P的法线在N处与X轴相交，P点的垂足H到N的距离V(称为次法线)是X的函数，所以O到X的面积为1/2Y ^ 2。

在点P的无穷小相邻曲线上取一点Q，以PQ为“斜边”作“特征(直角)三角形△PQR”，其两段PR、RQ为无穷小变量dx、dy，则RT△ PQR ~ RT△ PNH，故有dy/v=dx/y，即vdx=ydy，将它们求和。

若ds表示特征三角形的斜边，过P点的法线长度为N，则ds/n=dx/y，即yds= ndx，和为∫yds=∫ndx②。

所以曲线c绕x轴旋转得到的旋转体表面积为s=∫2πyds-∫2πndx。

因为当时没有积分符号，莱布尼茨用语言这样描述他的重要结果:

“一条曲线的法线形成的图形，即这些法线(即圆内的半径)放在纵坐标方向的轴上。图形的面积与曲线绕轴旋转形成的立体的面积成正比。”

早在1666年，莱布尼茨就在《论组合的艺术》一文中考察了如下平方数序列:

0,1,4,9,16,25,36, ...

一阶差分为

1,3,5,7,9,11, ...

二阶差分是

2,2,2,2,2, ...

他注意到一阶差分的和对应原序列，和与差互为逆，于是他联想到了微分与积分的关系。利用笛卡儿坐标系，他把曲线上无穷多个点的纵坐标表示为Y的序列，对应的横坐标点就是x的序列，如果用x作为确定纵坐标的顺序，再考虑任意两个连续Y值之差的序列，莱布尼茨惊喜地发现“求正切只是求差，求积只是求和”。

求曲线的切线，取决于纵坐标和横坐标的差，当这些差变成无限小时的比；曲线下的面积取决于无限个单元格之间的纵坐标之和(即宽度无限小的矩形面积之和)，我们可以看到这两类问题的互易性。莱布尼茨在给洛必达的信中总结道:“求正切就是求差，求积就是求和”。

求和，在莱布尼茨1675年10月29日的一份手稿中，首次使用了“∫”这个符号，它是“sum”的第一个字母“S”的拉长。在11月11日的手稿中，引入了dx来表示两个相邻X值的差值。676年11月，莱布尼茨能够给出幂函数的微分和积分公式:

其中e不一定是正整数。

1677年，莱布尼茨在手稿中明确阐述了微积分的基本定理。为了求Y纵坐标的曲线下的面积，只需要一条Z纵坐标的曲线，使其切线的斜率为dz/dx=y，这样原曲线下的面积为∫ YDX = ∫ DZ = Z，如果在区间[a，b]内，则得到面积。

莱布尼茨在1684年发表了他的第一篇关于微分学的论文《求最大值、最小值和切线的新方法》(简称新方法)，也是数学史上第一篇微分文献，发表在莱比锡的《教师杂志》上。

引入了微分表达式，给出了微分表达式的和、差、积、商幂、平方根的微分公式:

d(u v)= du dv；d(uv)= udv+VDU；

1686年，莱布尼茨发表了他的第一篇关于积分学、深几何、无与伦比和无限分析的论文。本文讨论了积分或求积问题与微分或切线问题的倒易关系，并得出摆线方程:

就是有些超越曲线也可以写出它们的方程。

莱布尼茨引入的符号“D”和“∫”体现了分化与整合之间“不同”和“和谐”的本质，得到了普遍的认可，并一直沿用至今。