印度之子拉马努金恒等式(拉马努金恒等式证明)

1911年，印度数学天才斯里尼瓦瑟·拉马努金在《印度数学学会杂志》上提出了上述问题(如图)。几个月后，他提出了一个解决方案。在本文中，我们将讨论Ramanujin的解决方案，同时探索一种基于微积分的方法来解决这个问题。所以，我们直接来探究一下。

声明

但首先，让我们弄清楚几件重要的事情。

我们将在上面给出的数列收敛的假设下开始。严格地说，我们应该先证明这个数列的收敛性，然后再求它的极限。然而，为了简单起见，我们认为数列的收敛是理所当然的，只关注于求极限。下面介绍的解并不是拉马努金在杂志上提供的精确解。相反，它是一个简化版本，目的是为了抓住拉马努金解的要点。拉马努强的解

注意，对于任何非负实数x，我们有:

现在，(x+2)可以再次写成((x+1)+1)，从而得到:

继续这个过程，把(x+3)写成((x+2)+1)，我们得到:

这个规律现在很明显了。如果我们无限期地进行这个过程，我们将得到:

现在神奇的事情来了。通过插入x=2，我们得到:

就这样，我们得到了答案，原来只有3！就是这么简单明了，就是这样。

很难不对这个解决方案的天才之处感到惊讶。谁能想到把一个数表示成它的平方根会得到这么美的方程？

此外，上述问题是一类更广泛问题的极好例子，其中提出的问题是更具一般性的特殊情况。在这种情况下，我们首先找到一般的恒等式，然后代入适当的值得到想要的结果。例如:

所以，这是Ramanujin对这个问题的思考。接下来，我们继续探索基于微积分的方法来解决这个问题。

基于微积分的解决方案

免责声明:我们假设有一个可微的实函数F，它被隐含地定义为:

同样，我们在这里已经放弃了一些数学上的严密性，假设这样一个函数存在，而没有实际证明它。现在，我们的目标是，如果这样的函数存在，我们能否用它来解决我们原来的问题？

请注意:

继续下去，我们想出了:

现在可以清楚地看到，我们问题的解f(2)是因为:

当然，以上是我们函数定义的启发。现在，让我们试着求f(2)的值。

然后:

现在，让我们看看f(x)的导数告诉我们什么。

类似地，通过在[3]中设置x=0，我们得到:

回到最初的等式:

我们得到了f(2)的值，也就是3。

结语

补充一些历史背景，Ramanujin在1911年发表了这个问题，当时他正在努力确立自己在国家数学圈的地位。几年后，他与G.H .哈代取得了联系，并搬到了剑桥。在接下来的五年里，他们两个将组成有史以来最好的数学伙伴关系之一。

Ramanujin是一个不需要特别介绍的名字。他的生平和成就被完整地记录了下来。这篇文章提出的问题只是他最喜欢的领域之一。

作为他的典型代表，拉曼努强对数学的某个特定领域完全感兴趣，而对其他领域完全不感兴趣。当然，谁比哈代本人更清楚这一点呢？我们用他的一句精彩的话来结束这篇文章，这句话恰当地总结了Ramanujin:

他知识的有限性与其深刻性一样令人惊讶。这个人可以计算模方程和定理…..他对连分数的掌握达到了前所未有的程度…..超过了世界上任何一位数学家；但他从未听说过双周期函数或柯西定理，复变函数概念模糊。