arccotx的导数(arccosx等价于多少)

你对反函数的第一印象可能是自变量和因变量互换位置，函数和反函数关于y = x对称，但是很容易忽略一些问题，比如什么函数有反函数？三角函数和反三角函数有什么关系？考研怎么用反函数性质？

由于反函数不是考研重点，反函数的意义和性质往往会被大家忽略，这对于想拿高分的同学来说不是一件好事。

什么函数有反函数？

任何函数都有反函数吗？

不，反函数存在的唯一必要条件是x与y一一对应。也就是说，当x取一个特定值时，对应的Y值只有一个；当取y的一个特定值时，对应的x的值只有一个，如下图，当x取1时，y只取一个数12，当y取12时，x只能取一个数1。这就是一一对应。

事实上，我们接触的连续函数比离散函数或分段不连续函数多。

反函数连续存在的充要条件是该函数在定义域内严格单调。我们可以通过下图来理解下连续函数反函数存在的充要条件。

图(a)中的函数f(x)先增后减，并不是严格单调的，所以不存在反函数。从图像中可以清楚地看到，对于Y的某些值，X有两个可能的值，也就是说在图(A)中，X和Y不是一一对应的，自然就没有反函数。

图(b)的函数f(x)是严格单调递增的，所以有反函数。从图像中也可以清楚地看到，对于Y的每一个值，对应X的值只有一个；同样，对于x的每一个值，y的值只有一个，所以在图(B)中有反函数。

图(c)中的函数是减函数，但不是严格意义上的减，所以没有反函数。

从函数反函数存在的充要条件出发，推导出连续函数反函数存在的充要条件的实质。连续函数反函数存在的充要条件，可以结合图形记忆。

三角函数与反三角函数的关系

反三角函数，简单来说就是三角函数的反函数。但实际上，更具体准确地说，反三角函数是定义在单调区间上的三角函数的反函数。这说明考虑三角函数的反三角函数必须在三角函数的一个单调区间内进行。

以正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数为例。

如前所述，连续函数反函数存在的充要条件是函数在定义域内严格单调。从三角函数的图形来看，没有一个函数在定义域内是严格单调的。但是，如果把每个三角函数缩小到某个区间，三角函数在那个区间是严格单调的，那么我们就可以定义反三角函数在这个区间。

Sinx在区间[-пп/2，п/2]上有反函数，命名为arcsinx。

余弦cosx在区间[0，п]有反函数，称为arccosx。

正切函数tanx在区间[-п/2，п/2]上有反函数，命名为arctanx。

余切函数cotx在区间[0，п]上有反函数，命名为反余切函数arccotx。

对比上图可以发现，函数的定义域是其反函数的定义域，函数的定义域是其反函数的定义域。一定要牢记上面三角函数在哪个区间定义的反三角函数关系表，这对以后的问题很有帮助。

3.反函数的重要考点

考研需要注意反函数的两个公式和一个性质。

这两个公式是反函数的一阶导数公式和二阶导数公式。导数公式的内容和推导过程如下。

反函数的另一个性质也很重要，但往往被忽视。

反函数的这个性质表明，对自变量X连续应用算法F和反函数算法φ得到的结果就是它本身。

你可以仔细品味一下这个属性是怎么来的。然后看下面这个问题。你能做到吗？