纯循环小数和混循环小数(纯循环小数化成分数的方法)

一.概念描述

现代数学:循环小数一般有两种定义如下:

①小数从小数点后某一位置开始重复出现一个或一段数的无限小数称为循环小数或无限循环小数:重复出现的一个或一段数称为循环段。decimal的缩写是省略第一个圆段后的所有数字，在第一个圆段的前两位和后两位的上方加一个点。例如，3.258258258…= 3.258(2和8加一个点)。

循环小数分为两类:混合循环小数和纯循环小数。

混合坏小数:循环段不是从第一个小数部分开始的循环小数，比如3。258(在5和8上加一个点)。

圆形小数:从第一个小数部分开始的圆形截面的圆形小数，如3.258(在2和8上加一个点)。

②公理化定义:

循环小数是无限小数的一种特殊形式。对于无限小数0.a1a2…an。…，如果能找到两个正整数s≥0，t >: 0使得as+i = as+kt+i. (i=1，2，…，t；k = 1，2，…)成立，那么这个无限小数就叫循环小数，记为0。A1A2…ASS+1…S+T .对于一个循环小数，有无数个s，t值满足上述公式。如果取最小的s，t值，则as+1as+2…as+t是这个圆小数的圆截面，t称为圆截面的长度；如果最小的s=0，这个循环小数叫做纯循环小数；如果最小的s >: 0，则相应的循环小数称为混合循环小数，而部分a1a2…如从小数点到圆形截面称为非圆形截面。任何循环小数都必须转换成分数。

从数学的角度来说，第一个定义很好理解，小学数学课本上的表述也和它差不多。第二个定义科学严谨，体现了循环小数的本质。

小学数学:人民教育出版社2005年版教材五年级下册第28页明确指出:一个数的小数部分，从某个位置开始，一个数或几个数依次重复出现，这样的小数称为循环小数。

这与现代数学中“循环小数”的第一个定义基本一致。小学数学教材，考虑到学生的认知，没有提到十进制，默认是十进制无限小数。

二。概念解释

循环小数产生于实际测量和生产生活中。在衡量和分享时，经常会发生以下情况:

除法中，两个数相除，如果得不到整数商，一般会有两种情况:一种是得到有限分数，一种是得到无限分数。在结果唯一的前提下，为了保证除法运算畅通无阻，确实需要引入一个新的数，于是分数应运而生。

循环小数实际上是有理数的十进制表示。比如三分之一和七分之二这样的简单分数，在现实生活中有时需要用小数来表示，这时就会出现循环小数。

有时循环小数可以根据需要转换成分数。有两种情况:

纯圆分数的小数部分可以转换成这样的分数:分子是圆截面表示的数；分母的所有位数都是9，9的个数等于一个圆截面的位数。

混合循环小数的小数部分可以转换成这样一个分数:分子是第二个圆截面前的小数部分的个数与小数部分中非圆部分的个数之差；分母的前几位都是9，9后几位都是0。9的个数等于圆形截面的位数，0的个数等于非圆形截面的位数。

三。教学建议

循环小数是一个学生很难理解和表达的概念，尤其是一些表达其含义的抽象表达，如“循环”和“无限”。因此，在教学中，教师应该通过创设情境来帮助学生理解概念。

(1)循环小数的意义可以通过直观体验突破困难。

黄爱华在教小数的时候，故事是这样开始的:“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚。老和尚对小和尚说:从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚，老和尚对小和尚说……”。在学生不断讲故事的生动有趣的情境中，感受和体验循环小数的本质特征，如“无限”、“连续”、“连续”、“重复”，使抽象的数学概念具体化。同时，教师在课开始时用直观形象的方法消除障碍，使难点分散，为后面学习循环小数的意义做铺垫。

(2)循环小数的意义是通过除法计算不断完善的。

故事引入后，黄老师呈现了“乌龟6分钟爬70米，蜗牛11分钟爬9.4米”两条信息，让学生独立计算乌龟和蜗牛的速度。(70÷6=11.66……,9.4÷11=0.85454……)

一些学生在计算了一会儿后就停止了写作，而另一些学生则怀疑老师弄错了——他们发现这个计算永远不会结束，这正是学生通过计算体验到的循环小数的无穷性。

黄老师接着引起学生的思考，“为什么不继续去掉？你怎么了，发现了什么规律？”为了引导学生通过观察纵向来发现规律，让学生在计算实践中发现问题并尝试解决，通过讨论和交流来理解概念。学生在计算的过程中，体验循环小数的过程，可以加深对循环小数的理解，充分感受循环小数是无穷的。此时，黄老师让学生再说一遍什么是循环小数。有了前面的直观经验和计算的练习，学生可以通过交流不断提高循环小数的意义。

然后，老师和学生讨论“如何表示这两个问题的商？”由此得出循环小数的一般记法。

一般来说，学生表达的方式可能有以下几种。教师可以结合学生的四个答案讨论循环小数的记法。

0 ÷ 6 = 11.6 ……(表示小数部分无穷大，但不表示数字的重复)

70÷6=11.66666……(可以这么说，但是写这么多“6”太麻烦了)

70 ÷ 6 = 11.6(在6上加一个点；十进制数的简单表示法)

70 ÷ 6 = 11.66 …..(这意味着无穷大，数字“6”不断重复出现)

这是一种让学生主动寻找解决表格中小数不循环问题的方法。这个过程突出了知识的形成过程，揭示了缩略语背后的真相，使学生掌握了缩略语的方法。

四。推荐阅读

①《数学词典》第一卷(邱光明，山西教育出版社，2002)

该书在第29页有对“循环小数”及其相关概念的详细解释。

(2)《聆听名师:数学卷》(雷凌，广西教育出版社，2004)

在这本书的42-43页，有黄爱华关于循环小数的教学片段和评论。