质因数是什么意思?(质因数是什么意思举个例子)

在高一的数学学习中，我学到了有理数的概念。教科书上介绍的整数和分数统称为有理数。很多同学在学习这个概念的时候，都会有这样一个疑问，什么是有理数？整数和分数为什么要做有理数？这个概念从何而来？

数字的起源和发展

先说有理数的发展。我们知道，数学的每一次发展都是一个扩充数系的过程。随着生活和研究的需要，人们发现以前的数字已经不够用了，于是就会扩充数字系统。有理数就是这样产生的。

数字的产生和发展离不开生活和生产的需要。比如在古代，为了统计牲畜买卖的数量，往往是用绳子绑着来做，交易起来极其不方便。

为了方便计数和排序，人们比较数量的大小。产生了1、2、3…等自然数(正整数)，随着古代人交易的奴隶、牲畜越来越多，计数也不得不从一位逐渐扩展到十位、百位、千位。可以说，数字在人类社会早期其实并没有产生。即使计数所用的位数不多也不多，但自然数的位数不得不随着生产生活的实际需要而扩充。可见数字的产生和发展与我们人类社会的产生和发展密切相关。

比如在现实生活中，数字“0”的产生是为了表示“不”，表示“空 bit”，这也意味着当我们用数字“0”表示存在与否时，表示“空 bit”和“不存在”。当我们使用数字“0”时

那我们再来看“9”和“10”。古人数到9就有麻烦了。因此，为了突破计数的束缚，古人在日常生活和生产实践中约定，9这个数要四舍五入才能开始计数“10”。毕竟,“10”比“9”多一位数，他们认为它比“9”大

然后数“11”，因为我们在单个数中数“0”的时候，它在“1”的旁边，所以要以此类推，用“12”、“13”、“14”来数。由此可以发现，在我们日常的计数实践中，“0”没有真值是不够的，数字的进位是无法有效进行的。

那么分数是怎么产生的呢？首先，我们来了解一下人类历史，尤其是原始社会。由于个体力量无法与大自然抗衡，原始居民不得不一起狩猎，捕捉大型凶猛的哺乳动物，否则它们的食物来源将难以保证，生存将非常困难。但是，狩猎食物必须由所有人分享，合理分配；那么，我们再来看看古代氏族社会在财产分割上遇到的困惑。当一个部落首领想要为他们的下一代分享田地和房屋时，他必须平均分配他们的财产。否则，他们的子子孙孙之间、人与人之间就会产生怨气和矛盾，甚至产生纠纷。由于人类历史的正当进化，分数是逐渐产生的。

除了生活和生产的需要，数学研究也是推动数系扩张的重要因素。古埃及人在公元前17世纪就使用了分数，中国的九章算术也记载了分数的各种运算。分数的使用是由于除法的需要。除法可以看成是解方程px=q(p≠0)。如果p和q都是整数，方程不一定有整数解。为了使方程有解，必须把整数系展开成有理数系。

有理数的概念是一个错误的翻译

有理数是整数和分数的总称，整数可分为正整数、负整数和零。单看这个概念，很多同学还是很困惑，因为这个概念不能体现有理数的特性。我们从有理数的本质来分析和理解。

数学上，有理数是整数A与非零整数B的比值，通常称为a/b，所以也叫分数。

所以有理数就是可以转换成两个整数之比的数。有理数这个词来源于古希腊，它的英文词根是ratio，意思是比率。有理数英文全称是有理数，直译成中文应该是“可比数”。理性的通常含义是“理性”。

那么，为什么我们今天学习的名称不是“可比数”，而是“有理数”？这是由于在漂洋过海的过程中对数学知识的“误读”，这是东西方数学文化传播中著名的乌龙事件。

有理数的概念起源于西方几何元素在中国明代，从西方传入中国。明末，数学家徐光启和学者利玛窦用拉丁文翻译了《几何原本》的前六卷。他们翻译了“理”这个词，这里的“理”指的是它的本义“比”。

日本明治维新之前，欧美数学名著的翻译大多使用中国文言文的翻译。所以日本学者直接把中国文言文中的“理”翻译成“理”，而不是用文言文解释的“比”。后来日本学者直接用错误的理解翻译了“有理数”和“无理数”。

明治维新后，日本数学发展迅速。到了清末，近代处于落后地位的中国，不得不派遣留学生到日本留学，日本留学生把自己的错误送回国内。所以现在中国和中国都用“有理数”和“无理数”这两个词，于是“有理数”就代代相传，沿用至今。

有理数的分类

根据有理数的概念，我们把整数和分数统称为有理数。很多新手难免会有这样的疑惑。之前比较熟悉的小数应该怎么分类？小数到底有没有理性？

让我们先来看看分数分类:

那么无限小数和分数可以互换吗？

根据分数与除法的关系，先将分数改写成除法公式，其中分子等于被除数，分母等于除数，然后用分子除以分母计算结果(如遇无穷除法，可根据需要预留一定的小数位数)。

我们发现有些分数可以化为有限小数，比如1/2，3/4，2/5，7/8，13/20 …

有些分数被简化成无限循环小数，如1/3，5/6，2/7，4/9，7/12...

那么哪些分数可以化为有限小数呢？

一个最简单的分数，如果分母只含质因数2和5，没有其他质因数，那么这个分数可以化为有限分数；否则不能转化为小数，但可以转化为无限循环小数。

所有的分数都可以化为小数，有的可以化为有限小数，有的可以化为无限循环小数。那么，反过来，是不是所有的有限小数和无限循环小数都可以化为分数呢？怎么改造？

如何将，，，，，……这些无限循环小数该如何转化为分数呢？如何...这些无限循环小数怎么转化成分数？

1.将纯循环小数转化为分数的方法:

纯循环小数有几个循环段。只需在分母上写几个9，并使用圆形部分作为分子:

2.将混合循环小数转换为分数的方法:

混合循环小数中有多少个循环段？只需在分母上写几个9，在圆形部分前写几个，然后加几个0作为分母。

用小数点后第一位到第一个循环位结束的数减去第一个循环节点前的数组成的数作为分子，