自然对数e的值(自然对数e的由来)

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今天我们就送出中信出版社鹦鹉螺提供的高质量科普图书《理查德·费曼传》。

在《生活大爆炸》中，聪明毒辣、傲娇可爱的谢尔顿是大家的最爱，但很多专家都看到了美国最伟大的物理学家理查德·费曼的影子。作为一个拥有巨大脑回路的高富帅，一个革新美国教科书的优秀人民教师，他凭借纯理论获得了诺贝尔物理学奖。他爱恶搞，但严谨深刻。他玩世不恭，却发自内心的做自己想做的事，可以说是历史。

这部短小而贴心的作品向读者介绍了这位才华横溢的科学家不为人知的一面，真实地诠释了什么是“有趣的灵魂”。

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玛丽安·弗雷伯格

翻译:没什么

版本:Nuor

还记得自然对数吗？它关系到数学中最美的常数。这个号码是:

x的对数lnx是e x的指数，即:

现在我们使用计算器或计算机来计算对数，但很久以前人们使用对数来计算lnx。

约翰·耐普尔(1550-1617)的肖像，创作于1616年。

1614年，数学家、物理学家和天文学家约翰·耐普尔在一篇题为《奇妙对数表的构造》的文章中，以类似于现代对数表的方式发表了一系列对数表。令人惊讶的是，尽管纳皮尔从未听说过数字E，也从未想过指数函数(事实上，当时没有人知道这个数字)，但他通过想象点沿直线的运动，定义了一个以E为底的对数。

当时有一个问题一直困扰着人们，尤其是天文学家。天文计算需要对极大的数字进行乘法或除法运算。没有计算器的帮助，这些计算是非常困难的。使这些计算更容易的一个方法是用指数来研究这些问题。指数计算法则告诉我们，当两个2的指数相乘时，比如2a×2b，你只需要把它们的指数相加即可。如果你用一个除以另一个，你只需要减去它们的指数。

所以你需要一个表格来告诉你如何用2的指数函数或者其他数字来表示一个大数，这会让你的计算简单很多。给定数字N，你会想要找到一个数字L，使得:

换句话说，你需要的是一个以2或其他数为底的对数表。

但是，在纳皮尔的时代，人们并没有用指数函数来思考。他们没有底的概念，也没有简单的写指数函数的方法(在数字的右上角放一个小数字)。

虽然从阿基米德时代起我们就对以下两个系列感兴趣:

从2开始，以下数字依次加倍:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … .

和自然数:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … .

第一个数列叫做几何级数，下一个数与前一个数的比值是常数。

人们认识到，几何级数中两个数的相乘(或相除)对应的是算术级数中两个数的相加(或相减)。(对我们来说，这就是指数函数的运算法则。在几何级数中，它是2的指数函数，在等差数列中，它是指数函数的指数。)这似乎提供了一种让乘法变得简单的方法。可以把几何级数中比较难的计算，变成算术级数中比较简单的计算。

纳皮尔想做一个表格，把几何级数和算术级数中的数字联系起来，于是他写道，“所有的乘除法和根号计算都可以用最简单的加减乘除法代替。”

是纳皮尔发现了这两个系列之间如此吸引人的关系。想象一个点P，沿着一条无限长的直线从A移动到B。但它不是匀速运动，而是越走越慢:一个点的速度与P点到B点的长度成正比，离B点越近，速度就越小，所以永远到不了B点，如果你每秒测量一次从B点开始的长度，你得到的数可以形成一个递减的几何级数:两个相邻数之比相等，但与前面的例子不同，公比小于1。

如何将其与等差数列联系起来？直观地想象p点在每个时间段的位置:x1是1秒后p点的位置，x2是2秒后p点的位置，以此类推。因为P的速度逐渐变慢，线段[xi，xi+1]随着I的增大而减小，又因为P永远到不了B点，所以这样的线段不计其数。想象一下，把每条线段拉伸到相同的长度，仍然让P点在一秒钟内通过这条线段。这样，B点将处于无限远，P点在各线段上的平均速度相同，因此P点在1秒、2秒、3秒内走过的距离构成一个等差数列。

利用这种直觉推理，纳皮尔设想了第二点。Q和P以相同的速度从A点出发，但是Q以恒定的速度通过B点，继续向无穷远处移动。在给定的时间点，他将Q点行进的距离定义为P点行进距离的对数。这将把距离P点的几何级数和距离q点的等差级数联系起来。

纳皮尔把A到B的线段长度做得很大，达到了10，000，000=107。他这样做是为了保证准确性，也可能是因为他有一个天才的大脑想到用对数来计算大数。他还假设P点的初速度是107。

今天，我们可以计算纳皮尔提到的对数。经过一系列计算，我们可以得到:

x是P移动的距离，Y是q移动的距离。

这意味着y/107是x/107的以1/e为底的对数——这正是纳皮尔的建设性定义。但是因为当时还没有发明微积分，所以他的表格中只给出了这些对数的近似值，这些近似值联系着x和y。

这是一个非常好的近似，可以整理出来。

如果你熟悉e的很多性质，你一定知道对于任意一个数x，当n趋近于无穷大时，ex是下式的极限:

设x=-1有

因为107很大，所以

也就是说，纳皮尔对数的底数非常接近1/e .因此，

Y/107非常接近x/107的以1/e为底的对数。这就是为什么纳皮尔的工作经常被认为是数学史上第一次提出了数字E(尽管是以一种相当模糊的方式)。今天，纳皮尔也被认为是自然对数的发明者，尽管他从未听说过E！

原始资料来源:https://plus.maths.org/content/dynamic-logarithms

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编辑:AI