有限单元法基本原理和数值方法(有限单元法基本原理和数值方法pdf)

内容:泊松比

一、有限元法的基本思想

有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限数量的简单单元来表示复杂的物体，单元之间通过有限数量的节点相互连接，然后根据平衡和变形协调的条件综合求解。因为单元数有限，节点数有限，所以称为有限元法(FEM)。

有限元方法是迄今为止最有效的数值计算方法之一，为科学和工程技术提供了巨大的支持。

二、有限元法的孕育过程、诞生和发展

在17世纪，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。在18世纪，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。另一位数学家Lagrange提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用位移函数来表达其上的未知函数。1915年，数学家伽辽金提出了选择位移函数中形函数的伽辽金法方法被广泛地用于有限元。1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用位移函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。20世纪50年代，飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分析飞机的应力、应变等问题。波音公司的一个技术小组，首先将连续体的机翼离散为三角形板块的集合来进行应力分析，经过一番波折后获得成功。(Clough教授参与研究。)20世纪50年代，大型电子计算机投入了解算大型代数方程组的工作，这为实现有限元技术准备好了物质条件。1960年，美国加州大学伯克利分校的R.W.Clough教授在论文中提出了“有限单元”，这样的名词。值得骄傲的是我国南京大学冯康教授在此前后独立地在论文中提出了“有限单元”。

3.有限元法的计算方法及软件

作为一门技术，有限元方法与有限元软件的发展结合得更加紧密。方法不断更新，优胜劣汰，继承发展。有限元分析的传统数值计算方法中，有两种:DirectSolver和迭代所谓快速求解。

常用的有限元软件有美国的ABQUS，ADINA，ANSYS，MARC，COSMOS，ELAS，MSC和STARDYNE，德国的ASKA，英国的PAFEC，法国的SYSTUS等。

显式/隐式有限元法:只需对可简化为对角矩阵的质量矩阵求逆，增量步不存在迭代收敛问题，可一直计算。隐式计算具有时间步长增量大、各载荷步收敛可控、避免误差积累、迭代不收敛、计算量随计算规模的增大超线性增加等特点。与隐式显式计算相比，具有时间步长小、误差累积、无迭代收敛问题、计算量随计算规模线性增加等特点。这种计算方法的代表软件是ABQUS。

离散元法:离散元法，又称颗粒元法，是由Cundall于1971年首先提出的一种不连续的数值方法模型。该方法的优点是适用于模拟离散颗粒集合体在准静态或动态条件下的变形过程。离散元法不是基于最小势能变分原理，而是基于牛顿第二运动定律。基于各刚体的运动方程，建立描述整个破坏过程的显式方程，并采用动力松弛法迭代求解。

筒仓卸载模型

刚体弹簧单元法(RigidBodySpringMethod，RBSM)是由Kawai于1976年首先提出的。初衷是用较少的自由度解决结构问题。它将系统分解成由均匀分布在接触面上的弹簧系统连接的一些刚性单元。刚性元件本身不会弹性变形，因此结构的变形能量只能储存在接触面的弹簧系统中。由于刚性弹簧单元之间的作用力是通过单元界面上的弹簧来传递的，所以可以直接得到界面上的作用力，因此在岩土界面分析等领域有很好的应用。

管桩压入土中的过程

接触判断法:通过相互接触来判断单元之间的相互作用力，进而形成运动方程。因此，快速准确的接触算法对于有限元法来说是非常重要的。由于计算过程中单元位移较大，块空之间原有的拓扑关系发生变化，使得接触判断更加复杂。

轻钢结构插接节点的接触分析

无网格法:传统的有限元法需要构造特定的单元网格来形成位置插值函数。计算机能否根据节点信息“自动”形成位移插值函数？可以实现无网格方法。无网格法对函数的要求是:

光滑连续；影响的节点有限。

无网格法常用的插值方法有移动最小二乘法、核函数和径向基函数。整个方程包括配点法、最小二乘法和伽辽金法。伽辽金法是应用最广泛、最稳定的无网格方法之一。

扩展有限元法:扩展有限元法于1999年提出。由于Belytschko和其他学者的努力，XFEM在ABAQUS版软件中得到了很大的发展和实现。

四、结构工程中有限元方法的发展趋势

1.多物理场耦合问题

近年来，有限元方法已发展到解决流体力学、温度场、导电、磁场、渗流和声场等问题，最近又发展到解决几个交叉学科的问题。比如固体力学和流体力学的有限元分析结果需要交叉迭代求解，也就是所谓的“流固耦合”问题。

河南永丰石拱桥坍塌。

2.线性工程问题到非线性分析问题。

线性理论远远不能满足设计要求。比如土木工程中高层建筑、大跨度悬索桥的出现，需要考虑结构的大位移、大应变等几何非线性问题；

航天动力工程高温部件存在热变形和热应力，还应考虑材料的非线性问题。随着塑料、橡胶、复合材料等新材料的出现，单靠线性计算理论不足以解决遇到的问题，只能用非线性有限元算法来解决。

预应力混凝土梁的开裂过程

3.时变结构和连续崩溃。

结构不可能在那里诞生，也不可能通过空消失。因此，建造或拆除结构的过程是动态的，在不同阶段可能会表现出不同的力学性能，其中存在许多复杂的问题。对于这类有限元法的过程分析，往往根据施工过程编制时程程序，动态跟踪结构性能变化。

4.优化问题:

有限元中有几个要求，如边界形状优化、最小质量、等强度、等应变、动态参数优化等。优化问题的特点是变量多(数十/数百)，很多实用优化算法的鲁棒性有待提高。

5.湍流问题:

目前有一些好的方法，比如有限体积法，还有待深化。目前湍流问题其实根本不是算法问题，而是介质的物理模型问题。人们对湍流的认识可能受限于目前的科技水平。

动词 （verb的缩写）结论。

有限元法不是万能的，关键在于它的思路。完美地体现了哲学中整体与部分的关系。要解决整体问题，首先要研究局部问题，局部问题研究清楚之后再研究局部之间的关系。然后在统一的坐标尺度下合成各部分，并考虑整个系统与外界的关系，最终得到全局特征。

有限元法是我们认识世界的科学工具，但其哲学意义和平方方法的理论意义却远未被人们所认识。

来自微信官方账号:3D设计师