数值积分(二重积分dxdy怎么算)

12.1二重积分推广一元函数的积分看如何求连续函数f(x，y)的二重积分。每一个二重积分都可以方便地用定积分法逐步计算。

矩形区域上的二重积分

设f(x，y)位于矩形区域r: a中

当网格连续细分使得X和Y都趋近于零时，趋于R的面积趋近于极限值，称为F对R的二重积分，记为:

值得注意的是，f函数的连续性是二重积分存在的一个充分条件，这个极限对于很多不连续的函数也是存在的。

二重积分的性质

连续函数的二重积分也有一些代数性质:

二重积分的几何意义

当f(x，y)为正函数时，f函数在矩形区域R内的二重积积分可以看作是一个曲面为z=f(x，y)的棱柱体的体积。

计算二重积分的 Fubini 定理

现在计算矩形面积R:0 < = x & lt；=2，0 & lt= y & lt=1平面z = 4-x-y下面的体积求二重积分的过程请看下面的动画。

也就是说，体积可以通过先固定x，先将4-xy相对于y从y=0变为y=1，然后将得到的x相对于x的表达式从x=0积分到x=2来计算。那么体积可以写成一个表达式:

上述表达式称为二重积分或迭代积分。

圭多·富比尼(圭多·富比尼)在1907年证明了矩形域上任何连续函数的二重积分都可以用两种重复积分的任意阶来计算。

有界非矩形区域上的二重积分

非矩形区域R中函数f(x，y)的二重积分假设被一个网格覆盖，但R中的小区域是红色的，如下图所示:

可以看出，随着网格的不断细分，R中包含的小矩形方块趋于零，S会有一个极限，这个极限叫做F对R的二重积分:

如果f(x，y)为正且在r上连续，则曲面z=ff(x，y)和r之间的实线趋势的体积为:

观看下面的动画:

在xy平面中，如果R是由两条曲线g1(x)和g2(x)包围的区域。也可以用切片法求体积。首先计算横截面积A(x):

然后从x=a到x=b积分A(x)得到体积:

观察下面从x=a到x=b整合动画A(x)的过程:

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