人类对圆周率的使用由来已久。古人很早就知道，任意圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数定义为π，相关证明方法并不复杂。如上图所示，假设有两个同心圆O1和O2，圆
人类对圆周率的使用由来已久。古人很早就知道，任意圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数定义为π，相关证明方法并不复杂。
如上图所示，假设有两个同心圆O1和O2，圆心为O，半径分别为r1和r2，R1 < r2 .然后把两个同心圆分成n等份，考察其中一个。可以看出△AOB和△COD是等腰三角形，OA=OB=r1，OC=OD=r2。若∠AOB=∠COD，则可证明△AOB∽△COD。可以得到下面的关系:
内接正N边的圆O1和O2分别具有周长p1和p2:
p1=n AB
p2=n CD
如果圆被分成更多相等的部分，那么内接正多边形的周长将更接近圆，因此圆O1和O2的周长c1和c2与p1和p2具有以下关系:
c1≈p1=n AB
c2≈p2=n CD
如果取极限，当圆被分成无限等份时，即n趋于无穷大时，内接正多边形的周长将等于圆的周长，于是有如下关系:
上述两个公式可以转化为以下形式:
由于三角形相似，AB/r1=CD/r2，可以得到如下关系式:
因此，任何圆的周长与直径之比都是一个常数，也就是我们所说的圆周率。
当然，圆的周长与半径之比也是一个常数(记为τ，约为6.28)。数学家之所以不把这个常数定义为圆周率，是因为用圆的周长和直径定义的常数更方便。比如用公式表示圆的面积时，πr ^ 2显然比τ/2r ^ 2更方便。虽然也有人主张用τ代替π，因为在某些公式中用τ更简洁，但只限于少数公式，所以π的地位不可动摇。
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