虚数的意义及用途(虚数的意义 知乎)

然后我就来说说这本数学科普名著《从一到无限》

我们知道一个数的平方永远是正的，10的二次方是正100，负10的二次方是正100。所以可以想当然的认为只有正数才有平方根，负数没有平方根。但是数学家在做计算的时候经常会遇到负数的平方根。例如，有没有可能找到两个数字，使它们相加为10，乘积等于40？在实数范围内，答案是不存在的。但是如果允许负数的平方根存在，那么我们就可以找到一个答案，但是这个答案会包含那个奇怪的数字——15。数学家给负数的平方根起了个名字，对应实数，叫做虚数。还规定根号-1叫I，这样根号-20就是20i，根号-15就是15i。

但是虚数真的没有任何意义，所以即使它出现在大量的数学计算中，数学家一开始也不承认它的名分。比如著名数学家欧拉说，虚数就是虚数，是不能存在的。它们只不过是幻觉。话虽如此，欧拉还是在该用虚数的时候用虚数，因为实在没办法。如果他不这样，很多计算根本做不出来。

虚数这个尴尬的位置持续了200多年，最后两位业余数学家给了它一个名分。这两个人，一个测量员，一个会计，从几何的角度对虚数给出了这样的解释:你看，我们通常所说的“数轴”，一般是画一条水平线，用零点做标记，左边是负数，右边是正数。虚数要在数轴上找位置，应该怎么找？两个人说，在这条横线上，肯定找不到。我们应该在零点画一个垂直于横轴的纵轴，也用1，2，3，4标记...只不过这条线代表虚数，所以实际上是1i，2i，3i……...这样两条线就形成了一个坐标系，所有的数字都可以在这个坐标系中找到。比如15i，也就是根-15，在坐标轴的纵轴上。如果是20+根-15，那么在横轴上找20，在纵轴上找15i。然后，两者一相遇，就可以在坐标轴上找到这个数。

你肯定想问。道理我都懂，但是这个虚数不还是没用吗？其实虚数真的很有用，大有用武之地。我们可以用虚数把时间和空结合起来，构造一组空之间的四维几何。而这套几何社会让我们发现，时间和空并不是绝对独立不变的。如果你熟悉物理学，你会发现这个观点就是爱因斯坦相对论的雏形。

我们生活的世界在空中是一个三维的世界，也就是说无论你采用哪种方法，都至少需要经度、纬度、海拔高度等三维的数据。但是如果我们要确定一件事情的具体情况，光有空是不够的。我们必须增加另一个维度，时间。比如2017年9月24日晚上10点，北京海淀区下起了雨，从而准确的说出一个具体的事件。所以，我们需要四个维度来准确确定某个事物的时间空位置。也就是说，我们生活在一个四维的时间空世界里。

但如果要把时间当成第四维，就必须面对一个问题，那就是如何把时间和空联系起来进行计算？比如，如何在四维时间空中测量两个事件之间的距离？如果我们想测量长度、宽度和高度，那么我们可以使用统一的单位，例如多少米和多少英尺。但如果要计量时间，只能用小时、分钟、年。1米和1小时怎么结合？

这个问题乍一看就像负数的平方根一样没有意义，但其实是有办法解决的。比如说。如果出门问路，地铁站有多远？然后人家可能会跟你说有点远，走路要20分钟。你还不如骑自行车共享，5分钟就能到。这是典型的用时间来表示距离的方式。只要找到一定的速度，就可以把时间换算成空。那你怎么找到这个确定的速度呢？你可能已经想到了，这就是光速。科学家发现，光在true 空中的传播速度是恒定的，不受任何情况的影响。如果我们把光速和时间结合起来，我们可以得到一个距离单位。例如，光年是一个距离单位，它代表光在一年中传播的距离。如果我们想计算5分钟有多远，那么用光速乘以5分钟就得到一个距离。

现在所有的工具都有了，我们来看看科学家是如何确定四维时间中两个事件之间的距离空。测量空中两个事件之间的距离很简单，时间上的距离刚才已经说过了。我们可以测量两个事件之间的时间间隔，然后乘以光速得到一个距离。

重点是，时间和空毕竟还是两回事。这两个结果不能简单相加，没有意义。这两个距离必须加以区分，并以不同的方式显示。那么，你如何区分这两者呢？科学家想了一个办法:建立坐标系，然后以空之间的距离为横轴，时间距离为纵轴。这样，四维时间中的距离既有空的意义，又有时间的意义，可以将两者完美结合。

听到这个坐标轴，你应该还记得刚才说的虚数吧？是的，在这个计算中，虚数起着重要的作用。因为代表时间距离的纵轴实际上相当于虚轴。在四维空之间的计算中，将前方的时间距离乘以I，即乘以根号减1，以表示时间与空的本质区别。

用虚数把时间和空结合起来构成一个坐标系，科学家发现了一个非常奇怪的现象:两个事件之间的时间距离和我们通常所说的空之间的距离，实际上可以看作是四维距离在时间和空之间的两个坐标轴上的投影。这样一来，四维坐标系一旦旋转，时间和距离就可以相互转化。从这个角度出发，我们会发现时间和空不是常数，而是与物体的运动状态有关。你什么意思？一个静止的人和一个高速运动的人，时间在他们身上流逝的速度是不一样的。这相当于旋转时间空坐标系的运动，从而改变四维距离在时间空坐标轴上的投影。听到这里，你可能已经意识到，这就是狭义相对论。也就是说，数学家们曾经认为毫无用处的虚数在相对论的计算中得到了极大的利用。人们突然发现，如此重要的意义，却隐藏在看似毫无意义的虚数之下。

题外话:读书可以拓展我们的知识边界，获得更多的视角，但盲从是不行的。...

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