微分怎么求例题(微分怎么求导)

一般来说，一元函数很容易微分(可导和可导是等价的，dy = f & # 39(x)dx)，特别是与它的解析对应物(积分)相比。在某些情况下，我们希望事情更简单。例如，考虑以下函数:

这只是一个简单的实多项式。但是，到了差异化，就不再那么简单了。乍一看，(至少)有两种微分(导数)方法。

将括号里的内容展开，然后对每一项微分使用乘积的微分法则。

显然，第一种方法并不是一个好的选择(太繁琐)。就产品的微分法则而言，情况要好一些，但还是不够简单:

在上面的例子中，f的所有因子都是多项式，但是如果我们有一个像下面这样的函数呢:

对数微分（Log-Differentiation）

那么，对于g(x)这样的复杂情况，我们应该怎么做呢，因为使用通常的积微分法则会花费很多时间。

我们可能还记得之前老师说过对数让运算变得更容易，因为指数变成了乘法，乘法变成了加法，以此类推。我们可以通过取对数使这类函数的求导变得更容易。

例如，考虑如下的函数f:

假设上述乘积中出现的所有因子都是可微的正的。那么f是正的，所以G是有意义的，其中G是下面的函数:

现在，请记住:

很容易得到以下函数:

另一方面，看一看:

您可以获得:

因此我们得到了一个很好的f的求导公式，虽然在计算中使用了大量的对数，但是得到的公式中并没有对数，这主要是因为对数的求导本身并不包含任何对数，除了f中可能出现的对数。

推广

在上面我们假设f的所有因子都是正的。然而，这不是上述结果的必要条件。事实上，看看下面的等式:

将上述内容与链式法则相结合，我们得到以下结果:

因此，对于任何可以微调且不为零的函数f，上述公式也成立。也就是说:

因此，上述公式适用于任何可以微调且取非零值的函数。但是值为零的函数呢？例如，假设f是这样一个函数:

f是在所有实数上定义的。f在任何地方都是可微的，但不知道在x=1处的情况。存在以下极限：

我们将证明:

可微函数的一个准连续性属性。

事实上，如果使用洛必达法则，上述情况相对容易。首先，考虑极限:

f在1处的导数。

上述极限，如果存在的话，等于f在1的导数:

因此，由于上式右侧极限的存在，我们很容易从洛必达定律得到:

但是我们要讨论的是积和导数，现在我们在证明函数导数的连续性。这里有什么问题？实际上，没什么。我们得到了函数(其他函数的乘积)的导数公式，只对非零函数有效。然而，如果一个可微函数f在一些孤立点上有一些零点:

然后，通过上面的公式，我们可以得到:

另外，当f的导数连续时(这是通常的情况)，我们也可以对f的零点使用相同的公式，只要上面的公式在零点处定义良好。

总结

一般来说，当涉及到函数的乘积时，求导是相当困难的。但是，利用一些对数和一点代数，我们得出了一个很好的公式，在大多数情况下是有效的。也就是说，对于任何可微函数:

我们已经证明，如果在任何一点，f不为零，那么:

也许，这是我们第一百万次遇到这个公式了。