曲线的斜率怎么算(曲线的斜率公式)

作者|吴大晓

来源|大小吴的数学课堂

学过高等数学的还记得这两个公式吗？

下面是三角函数的导数和和。今天大吴就和大家聊聊如何直观的理解他们。

1 导数

我们知道，导数是微积分中一个非常重要的概念，即当函数的自变量在一点产生一个增量时，函数值的增量与值之比的极限趋于零，记为

由上图也可以知道，当点无限趋近于点时，导数的几何意义便是函数所代表的曲线在点上的切线斜率。从上图可以看出，当点无限逼近该点时，导数的几何意义就是函数在该点所表示的曲线的切线斜率。

2 计算三角函数的导数

通过导数的定义，我们可以计算三角函数之和的导数(举个例子):

根据两个角之和的正弦公式

代入上述极限得到

受限制(省略证明)

得到

也就是

所以我们得到了。

3 直观地理解三角函数的导数

我们也可以通过上面的计算得到导数，但是你肯定不想再做了——因为整个过程略显繁琐复杂。

我们从另一个角度来看和的求导——几何直观。

现在我们构造一个直角三角形，使它的斜边很长:

设其中一个锐角为，则两个直角边为，。

别忘了，现在我们在求sum的导数。回想一下导数的定义是什么，求导数需要什么？

是的，我们需要微小的增量！然后我们看看会发生什么。

对于角度来说，如果有微小的增量会怎么样？想象一下(想好了可以滑动图片查看)

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在研究函数曲线的导数时，可以将某一部分“无限放大”，从而达到“以直代曲线”的目的。

同样，这里我们可以无限放大直角三角形，看看会发生什么(你也可以在这里想象一下，然后看看是不是和你想的一样)。

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如果增加的角度无限趋近于零(此时记为无穷小量)，就不难想象直角三角形的新斜边与原斜边无限接近平行。如果我们在一个无限放大的地方再构造一个直角三角形，就会得到下图:

我们发现无限放大的直角三角形和原来的直角三角形很像！由于原直角三角形的斜边为1，我们可以认为放大位置的直角三角形斜边为1，两直角边为和。

因此，对于原直角边，其增量为，对于原直角边，其增量为。

因此，根据导数的定义，我们得到

参考

[1](美)阿德里安·班纳。普林斯顿微积分读本(修订版)[M]。由杨爽等翻译。人民邮电出版社，2020年。[2](美)杰森·威尔克斯。烧掉数学书[M]。由唐璐翻译。湖南科学技术出版社，2020。

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