完全立方数是什么意思(1000以内的完全立方数)

标题:2019年即将过去，小明有点舍不得。他想找出两个自然数m，n，这样这两个数的立方和等于20192019...2019(共8个2019)。小明的想法能实现吗？

这个问题属于数论问题。如果你想思考，你可以暂停滚动，思考1分钟，然后继续。

思维分析:

先介绍一些基础知识点，

知识点一:完整的平方数除以3后，余数只能是0或1；

知识点二:完整的平方数除以4后，余数只能是0或1；

知识点三:完整的立方数除以7后，余数只能是0、1或6。

这些知识点很容易证明，但在处理具体问题时却很实用。

由于今天的题目是完全立方数，我们就应用第三个知识点来解题，举个例子来证明。其他两个知识点你也可以类似证明。

所以，我们先想想完整的立方数除以7的余数，再算2019的余数...2019除以7，确定两个立方数之和是否可能是2019...2019.

第一步:

先思考第一个问题。完整的立方数除以7的余数是多少？

任何数N除以7只有7个余数，即0到6的所有自然数。分别计算这七个余数:

第一，余数为0时，自然数n可以写成7k的形式。显然，(7k)^3除以7的余数是0；

二、余数为1时，自然数n可以写成7k+1的形式，(7k+1) 3除以7的余数为1；

三、余数为3时，自然数n可以写成7k+3的形式，(7k+3) 3除以7的余数为6；

……

类似的计算表明，n 3除以7的余数只能是0、1或6。

注意:你也可以类似的证明以上两个其他知识点。

第二步:

思考第二个问题，考虑原问题的答案。

根据第一步的结论，对于任意两个自然数M和N，M ^ 3+N ^ 3除以7只有5个余数，分别是0，1，2，5，6。

但是2019=288*7+3，也就是2019除以7的余数是3。因为2019年重复了8次，2019年的剩余时间.....2019除以7也是3。因为3不在上述五种余数中，满足条件的M和N都不存在，

所以小明的想法无法实现。

你学会了吗？

有兴趣的读者可以考虑自己练习下面的扩展题。

思考题:把原问题改成另一个条件。

2019年快结束了，小明有点舍不得。小明想求两个自然数m，n，这样这两个数的平方和等于2019。小明的想法能实现吗？

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