圆锥台体积公式是多少(圆锥台体积公式计算公式)

虽然小学六年级数学里教圆锥体积公式，但一直在躲闪公式的数学证明。

小学数学教材存在的一个问题

课本截图教材截图

小学六年级数学教材中，教材编写者总是用倒水或沙子的方式给孩子解释圆锥体和圆柱体体积的关系。这种教学方法除了让孩子记住“圆锥体的体积是等底等高圆柱体体积的三分之一”这一结论外，并不能教给孩子任何其他有用的数学知识和思维方式。而且这种实验方法并不精确，所以如果真的要做实验，还是推荐伽利略的小尺度(实验精度远超排水法的矩量法)。相关链接:【伽利略和伽利略尺度-今日头条】https://m.toutiao.com/is/eALYx7P/

当然，很多数学专家可能不同意。他们认为这个年龄的孩子只需要知道情感上是什么样子，探索其中的原理是天经地义的。可能教科书作者就是这么想的吧。问题是，没有引流法就不能简明易懂地解释这个问题吗？我不这么认为。

虽然排水法可能向古代数学家暗示等底、等高的圆锥体、球体和圆柱体的体积关系为1:2:3，但这种方法并不能代替严格的数学证明。

这种教学方式不教数学，背离了数学的本质。真正的数学不是让孩子背诵数学公式，也不是为了一个答案，而是要学会如何思考和解释问题，学会逻辑思考和推理。数学的意义在于从小培养孩子的思维能力和思维方式。但遗憾的是，我们的数学教育方式已经严重偏离了教育的本质。说的更极端一点，可能我们数学课没有数学吧！

我不想责怪小学数学老师。他们遵循教科书和教学大纲是无可非议的。我想说的是，其实学习思想的起源，学习数学公式背后的思维方式，远比记忆一个公式更令人兴奋。这里我以“如何理解圆锥体的体积是等底等高圆柱体体积的三分之一”为切入点，与读者分享为什么学习数学思维比记忆公式更重要。

在数学问题中，最奇妙的证明是我们不需要证明，把复杂的问题化繁为简，化繁为简，就能看到数学的美。那么，请跟随我的思路，来探讨一下圆锥体体积计算公式背后的数学原理和思想。

化繁为简的数学思想：转化

直接得到圆锥体积公式有点困难。我们如何开始？这个问题可以类比简化，降低问题难度。我们先来看看与圆锥体相关联的金字塔(数学上称为正四棱锥)的体积，看看它与等底等高的长方体是怎样的关系。

金字塔有五个面，所以计算它的表面积比它的体积要简单得多。请看它的平面发展图。它的表面积等于底部的正方形面积和四个全等三角形面积之和。金字塔顶点的投影是底部正方形的中心。

等底等高的金字塔和长方体是什么关系？不要急着回答。想想这个问题的难度能不能降低。

可以继续简化问题。等底高三棱柱与三棱柱体积有什么定量关系？

三棱柱的体积很容易计算。底部区域是三角形区域。乘以高度得到体积。三棱锥在哪里？请看下图:

一个三棱锥蛋糕可以用如图所示的刀切成三个全等的三棱锥，得到如下结论:

三棱柱的体积是同底同高的棱柱的1/3。

并且以此类推，棱锥的体积是同底同高的长方体体积的1/3。可以继续类比。底面为正多边形的正棱锥的体积是底面和高度相同的正多边形圆柱体体积的1/3。

为什么？因为正多边形可以分成几个全等的三角形。

继续推理，得出结论:

一个圆锥体的体积等于一个底高相同的圆柱体体积的1/3。

这是什么原因呢？

有两种解释。先说第一个。

我们知道。底部和高度相同的圆锥体和圆柱体的体积存在定量关系。我们还不知道这个体积比是多少，就假设两者之比是k。

圆锥体的体积:圆柱体的体积= kπ RH: π RH = k

六年级的小学生知道比值和比例，也可以简化比值。因此，将这种比较简化为:

圆锥体体积:圆柱体体积= krh: RH = k

所有的小学生都能理解它。相当于一个分数。分子和分母同时乘以π的倒数，π就消去了。

我们知道，与圆有关的公式中有π。如果π被消除了，我们可以再看到它。不就是一个底面为正方形的长方体体积公式吗？

而且我们前面讨论过，三棱锥的体积是同底同高的棱柱体积的1/3，所以现在我们知道k=1/3。

这样就得到了圆锥体积公式:

V=1/3 πr h

现在我们用第二种方法来类比解释数学原理。

伟大的原理：祖暅原理

先说祖鲁原则或者卡瓦列里原则。

祖鲁原理，又称幂等积定理，是夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截。如果两个截面的面积总是相等的，那么这两个几何体的体积也是相等的。祖宣《作曲》有言:“天命与力同，品不可异。

在西方，直到17世纪，意大利数学家卡瓦列里(1589-1647)在1635年出版的《连续不可分几何》中提出了等积原理，所以西方人称之为“卡瓦列里原理”。事实上，他的发现比中国的祖宣晚了1100多年。

祖宣[gèng](456-536)，祖宣文学家，范阳县(今河北涞水)人。中国南北朝时期的数学家和天文学家，祖冲之的儿子。他和父亲祖冲之一起，成功地解决了一个球的体积计算问题，得到了正确的体积公式，提出了著名的“祖楼原理”。

如何在小学数学课堂上解释祖传原理？最简单的方法就是把几本一模一样的书叠在一起，直观演示。

祖鲁原理告诉我们，等底、等高的金字塔，体积是一样的。祖先树原理只要求平行截面的面积相等，而不是这些截面的形状。所以根据祖鲁原理，底高相同的圆锥体和金字塔体积相等。从前面的讨论中我们知道，底高相同的圆锥体和圆柱体的体积比为1:3。

圆锥体积公式还有别的证明方法吗？请看相关链接:【如何计算直角三角形重心到右侧的距离？——今日头条】https://m.toutiao.com/is/eAFR1a3/

这个链接告诉我们如何利用帕波斯定理计算旋转体的体积，推导出旋转体的体积公式。虽然很难，但这是学习数学的正确姿势之一。

祖鲁原理很厉害，掌握了就不难解出球体的体积。

思维拓展：球体体积公式的推导

现在，我们可以进一步推导球体的体积公式。按照转化一贯的数学思想，我们来考虑一下如何降低问题的难度。如果球体不好计算，先考虑半球是什么样的。请看下图:

如图，如何计算同一高度平行底面得到的截面积？

左右两段都是圆的，只是面积不同。半球的截面积需要计算图形中的x，需要勾股定理。

根据勾股定理，x = r-h，所以得到截面积= π (r-h)。

右圆柱的横截面积等于底面积。在圆柱体中构造一个等底、等高的倒圆锥。观察上图，我们发现:

相同高度的圆锥体、球体和圆柱体的横截面分别为小、中、大圆形。而且，大圈-小圈=圈=中圈。

现在我们来证明一下。

圆锥体的横截面在一个方向上是圆，垂直于这个方向的横截面是等腰三角形。等腰三角形的底边=d=2r，高= h = r，底边上的高度把等腰三角形分成两个全等的等腰直角三角形，直角边= r，由于直线平行于三角形底边的小三角形是与原三角形相似的三角形，所以小圆的半径r等于高h。

圆的面积=大圆-小圆。正好等于:

πr -πh =π(r -h)

所以证明了圆环的面积=球体的截面积=中圆的面积。而圆形面积=圆柱形横截面积-圆锥形横截面积。我们知道，相似三角形与线段成正比，所以无论横截面高度如何变化，球体横截面积=圆柱体横截面积-圆锥体横截面积的定量关系不变。

按照祖传的原理，当然有球体体积=圆柱体体积-圆锥体体积。

前面讨论过圆锥体的体积:圆柱体的体积= 1: 3，所以可以看出圆锥体的体积:球体的体积:圆柱体的体积= 1: 2: 3。

一个半球的体积=2个圆锥体的体积，所以球体的体积=4个圆锥体的体积，所以球体的体积公式推导出来了:

V=4/3 πr

总结一下:请看下图。

阿基米德说:任何球体的体积都等于一个圆锥体的体积的四倍，这个圆锥体的底面积是球体的最大圆面积，高度是球体的半径。

公式是:

V=4/3 πr =π/6D

注意D代表直径。

展开:

阿基米德说:在圆柱球体的模型中，圆柱体的表面积和体积等于球体的一倍半。

即圆柱体的体积:球体的体积= 3:2；圆柱体的表面积:球体的表面积= 3: 2。

圆柱体的表面积很容易计算:两个底面积为2π r，圆柱体的侧面积为4π r，共6π r .而球体的表面积正好等于圆柱体的侧面积。阿基米德说过，任何球体的表面积都等于其最大圆面积的四倍。6: 4简化后就是3: 2，是阿基米德说的一倍半。

推导过程需要用到勾股定理，勾股定理证明推荐几个环节:【用蛋糕的奇特切割法证明勾股定理——今日头条】https://m.toutiao.com/is/eAFFm1K/

【从风车到欧几里德定理——今日头条】https://m.toutiao.com/is/eAFLNCf/

【如何优雅地证明勾股定理？——今日头条】https://m.toutiao.com/is/eAFJc95/

结论:面对一个有趣的数学问题，探索的过程比最终的答案更重要，更有意义。培养解决数学问题的思维能力比背公式重要得多。

科学尚未普及，媒体仍需努力。感谢阅读，再见。