三棱锥表面积公式(三棱锥的表面积与体积)

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粽子是端午节不可或缺的传统食物。中国的粽子不仅馅料丰富，而且形状多样，如竹筒形、长方形、圆锥形、金字塔形、三角形等。不过最常见的还是“四角粽子”，也就是四面体的粽子。接下来我们就从几何学的角度来分析粽子里的门道。

四面体在现实生活中并不是很常见，光听名字很难想象它的形状。其实它有一个更容易接受的名字——三棱锥。所有的三棱锥都有六个棱、四个角和四个面，每个面都是三角形，每个三角形面都与一个角相对，底面是正三角形，其他三个面相等(必须是等腰三角形)，称为正三棱锥。如果底面与其他三个面完全相等，那么四个面都必须是正三角形，那么这就叫正四面体。

粽子做成正四面体有什么好处？

长方体和正方体代表的平行六面体，切掉一个角，其实可以形成一个四面体。但是为什么大多数人把粽子做成奇怪的四面体而不是长方体呢？首先，与平行六面体的不稳定性(比如立方体框架可以左右摇晃)不同，四面体的性质是非常稳定的。只要确定六条边的长度，就可以拼出一个唯一的四面体。所以四面体粽子不太容易变形。

虽然四角粽子不一定是正四面体，但它的四个面通常是同一个等腰三角形。如果把这个四面体的表面积拆开，就可以得到两个相等的菱形，也就是说两片相似的细长叶子正好可以把它包裹起来，物尽其用。

四面体还有一个特点，就是它有四个三重旋转对称轴和六个对称面，每两个对边都是互相垂直的。这说明，无论盘子怎么放在容器里，粽子看起来都是整齐而扁平的，不会给人侧卧的感觉。

正三棱锥也有一个重心，这个重心也是它的外切球和内切球的中心。在顶点和底部重心的连线(高度)上，把这个高度分成3: 1，也就是离地四分之一。所以，如果用牙签或筷子扎饺子，正确找到这个点，最能保证受力均匀，不易掉落或折断。

正四面体的体积——时间与空之间的考证。从外观上，不容易看出它的体积。虽然四面体的体积和圆锥体一样，都是底面积的三分之一乘以高，但是底面积和高都不好用尺子量。

阿基米德的排水法当然可以帮助快速测量体积，但是要准备的量杯不是很常见，而且剥粽子湿了以后好像比较麻烦。这时，就要用到一个特殊的公式。只要知道六条边的长度，就可以知道四面体的体积。

这个公式的名字叫海伦-秦九韶公式。是古希腊和中国的两位数学家发现的。第一个发现者是海伦二世，也译作海龙、时轮、夏伊洛等。，古希腊西西里岛(今意大利)上的锡拉丘兹(又名锡拉丘兹)国王，也是数学家、测量员和机械工程师。他在《计量学》一书中提到了求三边三角形面积的公式。这本书一度失传，直到1896年，有人在君士坦丁堡发现了它的手稿，并于1903年出版。然而，5年后的1908年，有人提出这个公式其实是阿基米德发现的，只是假借海伦国王的名义，但至今没有得到证实。

然而，海伦-秦九韶公式用于计算面积，并需要进一步处理，以计算体积。不过，算了底面积之后，再算高度就不难了。假设六条边分别为A、B、C、D、E、F，经过推导，最终可以得到如下公式:

一个小小的四面体粽子里有那么多几何知识。喜欢数学的朋友不妨多观察，多发现一些有趣的发现。

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