积分的几何意义面积(曲线积分的几何意义是什么)

作者|陈省身

来源|自然杂志，第3卷，第4期

我是微分几何的学者来说说广义相对论的惊人结构。我理解的广义相对论属于物理学，它的基础是物理实验。几何的目标应该是学习空。几何学的研究以传统和连续性为指导，其评价标准是数学的创造性、简洁性和深刻性，以及它们的良好结合和协调。所以几何有更大的自由度，可以沉迷于想象中的科目。但是，在历史上，突然醒悟发现，这些抽象的物体总是与现实密切相关的。微分几何和广义相对论之间的关系提供了这样一个例子。

广义相对论诞生于1915年。微分几何在早期等同于微积分、导数和切线，积分和面积一度被视为同一意义的对象。微分几何作为一门独立的学科诞生于1827年。这一年，高斯发表了他的《关于超曲面曲线的研究》，其中他以二次微分形式为基本工具，奠定了二维局部微分几何的基础。即使是高斯也无法预见这个理论的四维延伸会成为引力理论的基础。

首先，爱因斯坦之前的微分几何

在1854年的一篇历史性文章《论几何的基本假设》中，黎曼将高斯的工作推广到高维，奠定了黎曼几何的基础。在文章中，他首次引入了N维流形的概念，其中的点用N个实数作为坐标来描述。这是自高斯以来的巨大一步，因为高斯的曲面是放在三维欧氏空间空中，而不是内部。爱因斯坦对数学的看法是纯粹的，他很难接受黎曼这样的概念。从1908年的狭义相对论到1915年的广义相对论，他用了7年时间。他的主要原因是，要摆脱坐标必须具有直接标度意义的概念并不那么容易。"

黎曼几何中的基本问题是微分形式问题:在两个不同的坐标系中给出两个二次微分形式:

查找现有的坐标变换

把一种微分形式变为另一种微分形式的条件是由e .克里斯托弗·菲尔和r .利普希茨在1869年解决的。克里斯托弗·菲尔的解决方案包括以他的名字命名的标记和协变微分的概念。在此基础上，利玛窦于1887年至1896年发展了张量分析，在广义相对论中发挥了基础性作用。利玛窦和他的学生T，T .在历史研究报告《绝对微分法及其应用》(MathematischeAnnalen1901)中，对利玛窦的计算方法进行了总结。克里斯托·菲尔曾在苏黎世高等理工学院任教(爱因斯坦后来是这里的学生)，从而影响了意大利的几何学者。有趣的是，今年是他的150岁生日。

与这些发展同样重要的是，在世纪之交，微分几何的主要活动集中在欧几里得空之间的几何上，这继承了欧拉和加斯帕尔·蒙日的传统。一部代表性的著作是达布的曲面四卷理论，这是并且仍然是一部经典著作，要求几何学者把重点放在空(通常是欧几里得/[/k0)之间的几何上

在克里斯托弗·利普希茨解决形式问题的同时，f·克莱因于1871年详细阐述了埃尔兰根计划。即几何定义为研究具有连续自同构群的空，如具有刚性运动群的欧几里德空，具有射影变换群的射影空等。埃尔兰根的纲领将几何与群论统一起来，并在发表后的半个世纪内成为几何的指导原则。在应用中，它可以用来从已知的几何结果中导出新的几何结果。

克莱因的埃尔兰根程序与狭义相对论完美匹配。狭义相对论中的一个原理是洛伦兹群方程的不变性，这导致了世纪之交最有影响力的德国数学家克莱因成为狭义相对论最早的支持者之一。洛伦兹结构在相对论中起着基础作用。它也有几何学的解释。当我们在空中研究球的几何时，所有把球变成球的接触变换形成一个15参数的李群，而把平面变成平面的变换形成一个10参数的子群。后者与洛仑兹四变量群同构，所得几何为拉盖尔球几何。

Klein的Erlangen程序的巨大成功自然导致了Klein 空或者现在叫齐次空中微分几何的研究。特别是射影微分几何，从1878年哈尔芬的论文开始，后来从1906年开始成为E.J .威尔琴斯基的美国学派。

20世纪初，全球微分几何处于萌芽状态。1909年，Mukhopadhyaya阐述了四顶点定理，1888年van Dyck从Gauss-Bonnet公式推导出拓扑结论:闭有向曲面的Gauss曲率的积分等于，这里是曲面的欧拉特征。希尔伯特在1901年以独特的远见写了一篇关于高斯曲率为常数的曲面的论文，其中他给出了李普曼定理，即高斯曲率为常数的曲面。负常曲率的完备曲面不可能处处正则。在希尔伯特的指导下，Zoll于1903年发现非球面旋转闭曲面的所有测地线都是闭的。在动力学的推动下，庞加莱和G.D. boekhoff证明了凸曲面上存在闭测地线。

微分几何的最终目的是整体结果，但局部微分几何不能化简为最小，因为每个整体结果都必须有局部基础。为了使整体微分几何有一个系统的发展，必须奠定它的基础，而这基础必须来自拓扑学。广义相对论提供了动力。

第二，广义相对论的影响

爱因斯坦建立广义相对论时，有效的数学工具是用瑞奇计算方法讨论黎曼几何，爱因斯坦引入了有用的公式协议。对微分几何的影响令人震惊，黎曼几何成为中心话题。我们注意到，Schout en、Levi-Zivita、E. Jiadang和Eisenhart几乎所有关于黎曼几何的权威著作都出现在1924年至1926年期间。

这些发展立即得到推广，很快人们就清楚了，当把黎曼几何应用于相对论时，起关键作用的不是黎曼尺度本身，而是Levi-Zivita平行运动。H. Weyl在他的名著“空时间，物质”(1918)中引入了仿射联系，这是一个可以用来定义平行运动和协调的概念。

E.贾当在他的主要论文《仿射联系的流形与广义相对论》(1923~1924)中对仿射联系及其向柔性联系的扩展作了权威的阐述。这篇文章在当时没有得到应有的重视，原因很简单，它是超前的，因为它比仿射联系论更丰富，它的思想可以很容易地推广到李群的纤维丛的任何联系论。文章还解释了为什么爱因斯坦的理论是牛顿理论的直接延伸。特别是，可以做出以下贡献:

(一)引入结构方程，将Bianchi恒等式解释为结构方程外微分的结果。

(b)认识到曲率是张量值的二次外部微分形式。

从几何学上讲，仿射联络是一族仿射空空间(即纤体)，它们由一个空空间(基空空间)参数化，使得这一族仿射空空间局部平凡，其中一个保持纤体沿基/。当这样的结构被称为espace gen- eralisé时，一般来说，这种连接是非完整的，即展开依赖于基空之间的曲线，换句话说，当它沿着封闭曲线展开时，空是合并的。

Klein在制定Erlangen的方案时，观察到不包含黎曼几何，因为一个一般的黎曼空空间除了恒等变换外，不包含其他等长变换。在嘉当看来，黎曼空空间是以欧几里得空为纤维的空空间。

几何往往以非直观的形式给出。通常，它要么是由积分定义的尺度，要么是由一组微分方程定义的子流形族。最熟悉的两个例子是黎曼标度和二阶常微分方程定义的道路。在这样的空之间设置一个联系人，并不是一个容易的问题。事实上，就连黎曼空之间的Levi-Zivita接触的定义也是相当不凡的。不出所料，路与路之间的几何空 (E .嘉当，o .凡勃伦，T. Y .托马斯)涉及射影连接。

这些发展通常被称为非黎曼几何，在广义相对论中也有平行的发展。狭义相对论用于电磁场，广义相对论用于引力场，统一场论是两者的结合。它的需求是明确的。1918年，h .韦尔用规范场理论迈出了重要的第一步。Weil用了一个一般空的房间，有类似的变换群，但是发现物理上站不住脚。

在韦伊之后，他又提出了一些其他的统一场论，包括卡鲁扎(Kaluza)-克莱因、爱因斯坦-迈耶(1931)和凡勃伦的投射相对论(1933)。-一个共同的特点是对电磁场引入了五维空(凡勃伦的理论是四维的，但是切投影/[/]

爱因斯坦晚年一直从事统一场论的研究，经常有合作者。在这方面，我想补充一些个人资料。1943年，我从中国西南的昆明到普林斯顿研究院，当时第二次世界大战正如火如荼。他以极大的热情和同情欢迎我，我能经常和他讨论各种话题，包括广义相对论，是最大的幸福。我立刻看到了他的问题的极端难度，以及数学和物理的区别。数学中的著名问题通常会被明确提及，但在物理学中，问题的提法也是问题的一部分。

爱因斯坦对最终答案有严格的标准。他对上面提到的建议不满意，事实上，他对许多其他建议也不满意。他尝试了各种可能为统一场论奠定基础的几何结构。其中包括:

1.不对称张量(见《相对论的意义》，1955年第5版，附录二)；

2、一个厄米特结构的四维复空室；

3，比黎曼空更一般的度量空。

一般度量空之间的几何是由K. Menger建立和研究的，爱因斯坦的朋友K. Godel对此作出了重要贡献。在情况1中，它被唯一地分成两部分:对称和反对称。如果前者不退化，则该结构等价于一个具有二次外微分形式的拟黎曼结构，对称部分的符号为++。这种准黎曼结构就是黎曼或洛伦兹。情况2与复代数流形和多复变函数密切相关。近几十年来，它们是数学中得到极大发展的领域。

第三，正质量猜想，极小曲面，具有正数量曲率的流形

在爱因斯坦之后的时代，广义相对论重视整个理论(或大尺度时间空)，在这方面有了很大的进步。它来自宇宙学。爱因斯坦本人在这方面很活跃，但是积分微分几何发展的影响是毋庸置疑的。宇宙被认为是一个四维连通的洛伦兹流形，物理学和几何学比以往任何时候都更加交织在一起。但是，纯几何问题通常更简单。其中两个原因是几何是勾股几何或黎曼几何，几何学家可以通过假设空之间的紧性来理想化它

自然要把某个给定瞬间的数据记录下来作为“数据集”。数据集是一个到处都有类时法线的超曲面(因此诱导尺度是黎曼尺度)，所以四维流形的超曲面理论(是经典曲面理论的直接延伸)在广义相对论中有一定的作用。局部不变量由两个二次微分形式给出，即第一和第二基本形式，第二基本形式的系数的迹称为平均曲率。另一方面，上的诱导标度具有定量曲率。所有这些量都与高斯-柯达齐方程有关，并从爱因斯坦的场方程中导出。质量密度和动量密度是第一和第二基本形状系数及其协变导数的组合。因为动量密度不能超过质量密度，所以我们有

在极大超曲面上，数量曲率是非负的。

如果某些紧集包含有限个连通分支，则每个微分同胚都在紧集的陪集中，并且它的标度对标度是渐近的。

其中r是离原点的距离，对应的数据集称为渐近平的，在史瓦西尺度的情况下，符合史瓦西质量，所以称为总质量。正质量猜测如下:对于一个渐近平坦的数据集，每个连通分支都有总质量，如果有，则数据集平坦(即诱导黎曼尺度平坦，第二基本形式为0)。这个猜想在广义相对论里。

1978年，R. Schoen和丘成桐在极大超曲面的假设下最一般地证明了这一点。这项工作的整个过程是相对论者和微分几何学家之间接触和合作的完美范例。1973年，R. Geroch应邀在斯坦福大学举行的美国数学会微分几何夏季研讨会上作了一系列关于广义相对论的讲座。正质量猜想显然是未解决的问题之一。为了简化其陈述，格罗切列举了一些领先的猜测，其中之一如下:“在一个三维实数空中，考察一个在紧集外平坦的黎曼标度。若数曲率，则标度平。”把紧集围在一个大盒子里，把相对的两边当作身份。J. Cuddesdon和F. Warner将猜想改写如下:“定量曲率的三维环面上的黎曼标度是平坦的。格罗切指出:“如果你广泛感知并证明了其中的几个特例，你就可以推广到整个猜想的证明。"

格罗切的猜想属于微分几何的王国；舍恩和丘成桐首先证明了这一点。证明的思想是使用闭极小曲面。实际上，从面积二次变差的公式中可以看出，在具有正数量曲率的三维紧致方向黎曼流形中，具有正亏格的闭极小曲面是不稳定的，即其面积在扰动下会减小。另一方面，三维环面有一个大的基本群(同构于)，它的第二个Betty。这些拓扑性质应该推导出在非零闭曲面的同伦类中存在一个面积最小的闭正则曲面，这是以下结果的推广:在紧致黎曼流形上，每个非零闭曲线同伦类中存在一个最短的光滑闭测地线。对于极小曲面，相应结果的证明当然更加微妙。舍恩和丘成桐随后证明了极大超曲面的正质量猜想，后来这个结果被推广到高维。

这些发展涉及极小曲面和正标量曲率流形，这些话题对微分几何学者来说是很亲切的。

极小曲面的早期研究主要集中在平台问题上:为了寻找给定闭曲线所包围的面积最小的曲面，近年来才开始关注给定流形(如N维欧氏空或N维单位球面)中闭或完全极小曲面的研究。这些研究推广了闭测地线的性质，闭测地线在黎曼流形的几何和拓扑中发挥了重要作用。封闭完备的极小曲面，尤其是正则曲面，必然是更丰富甚至更有趣的对象，把极大超曲面作为数据集是很自然的。最近，J. Sachs和k .乌伦贝克证明了紧致单连通的黎曼流形总能浸入一个微小的二维球面。

正数量曲率流形的基本问题是:什么样的紧致流形能有正数量曲率的黎曼尺度？对这个问题兴趣的增加是由于维数为的紧致流形都可以有负数量曲率的黎曼尺度。这个结果的证明可以分为两部分:第一，可以给流形一个黎曼尺度，以及它的全标量曲率(即标量曲率的积分)。第二，后者可以保形变形为负常数的标量曲率。另一方面，由于对调和螺旋的研究，A. Lichnerowicz在1963年证明了如果一个紧旋量流形具有正标量曲率的黎曼尺度，则其月亏格等于零。舍恩-丘成桐的工作证明了三维环面不可能有正数量曲率的黎曼尺度，并且对于n维环面也证明了相同的结论(m .格罗莫夫，b .丘成桐)。在广义相对论的推动下，这些作者接近于给出所有具有正数量曲率的黎曼尺度的紧致流形的完整拓扑描述。

对于Ricci曲率或截面曲率，可以提出同样的问题。S. Myers的一个经典定理说:——具有正Ricci曲率的完备黎曼流形必是紧的，所以必有有限基本群。黎曼流形具有法截曲率的条件更强，预计这样的流形很少。秩为1的紧对称空具有这种性质，但也有其他零散的情况。用正规截面曲率描述紧致黎曼流形的完全拓扑似乎很困难。

四、规范场理论

1918年，H. Weir在他的文章《引力与电》中提出了规范场理论。它的思想是用一个二次微分形式和一个线性微分形式来定义它:

但是这两种形式也允许规范转换:

这里是电磁势，它的外微分是电磁场强度或法拉第(法拉第的名字是因为他对电磁学的重要贡献而被用作电磁场强度)。这是统一场论的初步尝试。爱因斯坦反对不确定性，但对韦尔提议的深度和大胆表示赞赏。

如果我们把韦尔的理论解释为基于洛仑兹流形上的圆簇的几何，那么当时和之后的所有反对意见都会消失，那么允许规范变换的形式就可以看作是定义在圆簇上的接触而保持不变，这就消除了爱因斯坦的反对意见。

规范场理论的数学基础在于矢量丛及其联系。纤维丛或纤维丛空的概念具有整体的特征，是打顶产生的。起初，它是试图找到流形的一个新的例子(h .霍特林，1925，h .西费特，1932)。纤度空是局部积空而不是全积空，这种差异的存在是一个神秘的数学事实。-直到发现了造成纤维之间差异的不变量，甚至证明了异常纤维束作为一个整体的存在，纤维束理论才得以发展。最早的不变量是H. Whitney和E. Stiefel在1935年引入的特征类。纤维的拓扑研究已经抛弃了代数结构，但在应用中，具有线性结构的向量丛更有用。粗略地说，流形M上的一个向量丛是向量空的一个族，它被参数化，所以从局部的观点来看，它是一个乘积。对应的向量空称为点纤维。例子是M的切丛和与之相连的所有张量丛。更普通的束是乘积束，其中V是固定向量空，而(x，V)是该点的纤度。向量丛称为外丛。

重要的一点是，光纤上的线性结构保持了一种存储意义，使得完全线性的基团在光纤连接中起着基础作用。这个群体被称为结构群体。如果纤维给出了一个内积，则实(或复)向量簇称为黎曼型(或埃尔米特型)。在这种情况下，结构聚类约为0(n)(或U(n))，n。

对于每个点，连续平滑地连接光纤。簇E的一个点叫做簇E的截面，换句话说，截面是一个连续的映射s:M→E，使得它是一个恒等式映射。这个概念是向量值函数和切向量场的自然推广。为了微分S，我们需要在E上有一个“联系”，这样就可以定义协变导数(X是M上的一个向量场)，它是E上的一个新的截面，协变微分一般是非交换的，即M的两个向量场X，Y，这个非交换性质是“可测量的”并给出这是第二节中描述的不协调几何概念的一个解析形式。根据E，嘉当，重要的是把曲率看成矩阵值的二次外微分形式，它的迹是闭2-型。更一般地说，它的所有k阶主要子形式之和是一个闭形式，称为指示形式(根据丛是实的还是复的，称为庞特里亚金形式或陈省身形式)。根据Deleusme的理论，次指示形式确定了一个有维数的上同调类，故称之为指示类。指示形式靠连接，指示类只靠捆绑。它们是丛上最简单的全局不变量，向量丛的非平凡性需要通过协变微分来识别。它们的不可替代性解释了最初的全局不变量，这一定是自然的作用。指示类的这种派生强调了它的局部性质，指示形式比指示类包含更多的信息。当M是有向紧致流形时，最高维指示类(即其维数等于M的维数)的积分给出指示数。当它是整数时，称为拓扑量子数。

已经发现，微分几何的这些概念可能是统一场论的数学基础。Weil规范理论处理的是圆丛或U(1)丛，即一维复厄米丛。

在研究同位旋时，杨振宁-米尔斯使用的实质上是SU(2)丛的一种联系，这是非阿贝尔规范场理论的第一个例子。根据这种联系，可以定义“作用量”。四维欧氏空之间的SU(2)丛中最小化作用量的联系叫做瞬子，它的曲率有一个简单的表达式，叫做self。当空被紧致成四维球面时，SU(2)丛由一个拓扑量子数k(k为整数)决定，除了一个同松量子数。Atia、Hitchin和Singer证明了对于给定的k >: 0，具有自对偶上曲率(称为模或参数之间空)的联络集是光滑流形，其维数为。用物理术语来说，这就是拓扑量子数k >；0的瞬子空之间的维数。

阿蒂亚·沃德注意到，自对偶Young-Mills场可以很好地纳入彭罗斯的“扭转”方案。他们把求所有自对偶解的问题转化为代数问题:复三维投影中的全纯向量丛的分类空，这个问题由K. Barth解决，G. Horrocks等人对它进行了非常仔细的研究，有了他们的结果，最终可以求出所有的自偶数。其实回到物理学，这些数学结果可以转化为物理学家满意的显式公式。

瞬子通过下面的结果展示了它与爱因斯坦的关系。群SO(4)与SU(2)xSU(2)局部同构，所以四维黎曼流形M上的黎曼度量通过投影给出了SU(2)丛的一个联系。M是爱因斯坦流形的充要条件是这些联络是自对偶或反自对偶的(用投影法区分)。

非对易规范场论能否做出一个满意的包含弱相互作用和强相互作用的统一场论？这个还有待研究。我们只需要指出，丛和联络的几何概念非常简洁，相信爱因斯坦也会喜欢。

动词 （verb的缩写）结束语

这个叙述还有很多明显的不完善之处。对于奇点的重要研究，集中在彭罗斯和霍金的工作中，这里没有涉及，这是最明显的不足。

最后，作为一个非本土学者，我希望广义相对论不要局限于引力场。一个普遍的统一场论，不管会是什么样的理论，都会非常接近爱因斯坦的宏伟计划。现在有了更多的数学概念和工具。

(胡译)

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