高阶无穷大的概念是什么(无穷大的定义理解)

为了理解我在说什么，我先引用几本量子场论的教科书和一些批判文章。

长期以来，人们认为以这样一种方式计算就够了，可以直接与实验比较的数没有无穷大。[......幸运的是，这些积分的无穷部分在可观测量的表达式中总会被抵消掉。——m·佩斯金和d·施罗德

天真的解决方案很简单& # 34；调整& # 34；或者让他们分道扬镳& # 34；显而易见& # 34；以便他们在数学层面上说得通，并希望当正则化解除时，物理答案也说得通。作者:D.C .阿里亚斯-佩尔多莫等

不过只要避免红外发散就没问题。——h . Georgi——核与粒子科学年度评论，1993，43，209-252

这是一个无限的数学概念。从历史上看，物理理论中的发散和奇点最终成为了相应模型濒临崩溃的线索。重新审视为什么旧理论被打破，修改“规则”避免发散。物理学的一些基本分支就是这样诞生的。

量子力学在经典物理学中& # 34；紫外线灾难& # 34；是在网上构思的。

根据经典物理学，与周围环境处于热平衡的黑体的光谱功率与波长的四次方λ 4成反比。这意味着在所有波长积分时获得的总功率将是无穷大。这个在经典物理学中无法解决的悖论被称为& # 34；紫外线灾难& # 34；。为了解决当时众所周知的悖论，马克斯·普朗克假设能量只能以离散的量(量子)出现。这就导致了光谱功率与波长的关系不同，在大波长方面与旧的一致，而在小波长方面却大相径庭。它解决了& # 34；紫外线灾难& # 34；问题。能量只能以量子形式出现的假设，是一种新理论——量子力学的基础之一。

黑体是吸收所有入射光的物体。黑体的近似是一个有小孔的绝缘盒。入射光一旦被吸收，就很难通过同一个小孔射出。此外，恒星的外层，也就是光球层，可以认为是一个与周围环境处于热平衡的黑体，因为发出的光子很快被来自恒星内层的新光子所取代，并且这一层的温度在一段时间内相当稳定。

什么是量子场理论，我们真的需要它吗？

宏观的慢速运动物体(其速度比光速慢得多)可以用经典力学来描述。一旦物体的速度变得等于光速，就应该用相对论力学来描述它的动力学。

另一方面，在很小的范围内，物理并不遵循经典力学定律。缓慢移动的微观粒子(如在原子物理学中)可以用量子力学来描述。当用一个快速运动的粒子进行操作时，它的速度等于光速，就会出现一个新的现象。粒子可以诞生，也可以湮灭。20世纪20年代末，形成了一门新的物理学学科，命名为量子场论(QFT)，它将量子力学的定律与相对论运动的定律结合在一起。

人们需要一个量子场论来解释以相对论速度运动的小物体的物理学。在这些条件下，会出现新的现象，比如粒子的生与死。

量子力学只是部分的量子理论，因为它只把粒子当作量子，而场仍然被视为经典。物理学的第二次量子化& # 34；革命& # 34；当在场也被视为量子。根据量子场论，空之间的空间充满了各种场(电磁场、电子场等。)，而粒子可以看作是相应场的强化。

量子场论中的无处不在的无限性

20世纪20年代末，物理学家试图理解原子是如何吸收和发射光子的。更广泛地说，他们试图找到电子和光子之间相互作用的基本量子力学定律。通过量化电磁场来解释计算的自发辐射是量子场论的首次成功。保罗·狄拉克在微扰理论中将原子的自发辐射系数计算到一级。人们认为，原则上，任何涉及光子和带电粒子的过程都可以用量子场论来计算。然而，在20世纪30年代后期，人们意识到微扰理论与& # 34；虚拟& # 34；粒子相互作用的高阶项常常变得发散。这些计算产生了无意义的结果，一段时间内没有得到解决，所以整个概念受到了怀疑。此外，新的实验似乎指出了自然和量子场论之间的其他差异。

20世纪40年代，量子场论在概念上是站不住脚的。计算的每一步似乎都有分歧。

40年代后期，有一个拯救它的窍门，就是在某个大尺度L上引入一个分界点，吸收到模型中的常数里。如果计算出的可测量与截止点无关，那么理论就会重正化，最后只有常数与初始值相比会被重新标定。虽然听起来有点粗糙，但这招还是管用的。用这种方法计算的物理量与实验符合得很好。

20世纪40年代末，有人认为系统地修改模型中的初始参数，一般可以解决量子场论中普遍存在的无穷问题。

这个过程叫做重整化。第一个被直接实验证实的重整化量子场论的例子是电动力学的量子理论(QED)，带电粒子尤其是电子的量子力学相对论。QED是我们迄今为止最精确的物理理论之一，与实验结果的吻合度在十亿分之一以内。它起源于20世纪20年代末狄拉克、海森堡和泡利的最初工作，并随着后来分享了1965年诺贝尔物理学奖的施温格和费曼的研究而完成。

由于他们在量子电动力学方面的基础工作，他们对基本粒子物理学产生了深远的影响。

虽然重正化在实践中被证明是有效的，但费曼从未对其数学有效性感到完全放心。他甚至称之为重正化& # 34；空贝壳游戏& # 34；。

量子场论的现代时代

随着人们认识到量子电动力学中所有的超剧烈发散都与粒子自身的能量有关，量子场论取得了巨大的进展。虽然在量子电动力学理论中，重整化过程中已经系统地规定了无穷大，但是kiness-Wilson在20世纪70年代对重整化群理论的深入研究，使人们对重整化程序的物理意义有了更深刻的理解，并导致了进一步的进展。重整化群的思想是处理涉及许多长度尺度的物理问题。按照现在的观点，重整化被看作是调整低能物理对高能物理的灵敏度。肯尼特·威尔逊因在重正化方面的工作获得了1982年诺贝尔物理学奖。

据了解，模型中最初设定的质量和电荷参数是所谓的& # 34；裸露质量& # 34；还有& # 34；裸充& # 34；，是实际量的数学抽象。它们与实测实验值并不直接对应，所以在计算中被无限放大，这不是问题。通过重整化& # 34；裸体& # 34；参数，可以得到物理值，也就是应该和实验对比的值。

从重整化群的计算来看，所有的有效场论都可以分为重整化、非重整化和超重整化。大部分著名的理论都是可重整化的，比如QED，量子色动力学，弱电相互作用理论，以及凝聚态物理中的大部分理论，比如超导，流体湍流。不规则理论的一个例子是广义相对论(引力理论)。

在构造模型的时候，把它约束在重正化上是合理方便的，因为这样会排除很多可能性。尽管自然界的行为没有先验的原因，但这种简化被证明是合理的，因为现有的成功重整化理论已经显示出与实验惊人的一致。

无限性的类型（在物理学中）

本文的大部分讨论都集中在高能紫外线的发散上，从物理角度来看这是灾难性的，因为这种发散在自然界是看不到的。通过重正化，整理出紫外发散，在可观测测量的表达式中没有出现发散。然而，零能量红外发散也出现在QFT。

红外辐射出现在有无质量粒子(如光子或胶子)的理论中。它们出现在辐射光子的零能量极限。零能量光子可能有无限个，所以红外发散指的是光子的粒子数不确定。从技术上讲，不可能构造由有限个光子组成的初始基和由无限个光子组成的最终态之间的变换矩阵。从物理学的角度来看，红外发散不像紫外发散那么根本。在物理学中，可测的量是辐射的能量，是零，而不是发射的零能量光子的数量。另外，所有的探测器都受到一些分辨率的限制，所以能量为零的光子无论如何也探测不到。

在QFT内部，红外发散要么被处理为低能截止，要么光子的质量被定义为非零，并在计算结束时被限制为零。与零能量光子相关的红外发散可能发生在各种过程中。

在虚拟修正中——电磁修正中，光子在相互作用过程中被发射和吸收，但在初始和最终的光子数量之间没有任何区别。在被称为轫致辐射的过程中产生的光子中——当粒子相互作用时，它们只是被其他粒子的场偏转。

测量的总辐射能量包括上述两种过程的贡献。这两个过程的符号相反，因此红外发散在总贡献中得到补偿。

今天的量子场论

今天，量子场论是一个完美的、极其成功的理论。虽然物理量积分的计算导致& # 34；每隔一步& # 34；但这些发散不仅可以系统地整理出来，而且在重整化群中研究量子场论中的无穷时，还可以预言系统的定性行为。通过使用重整化技术系统地重新计算发散积分，QFT被应用到许多物理领域，如粒子物理、凝聚态物理、引力和宇宙学。

极其精确的标准模型量子场论与高精度实验数据的差异，可以提供超越基本粒子标准模型的物理线索。在高阶微扰理论中，要计算的复杂积分的数量呈指数增长。

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