数学知识:自然数是什么有哪些(整数和自然数的概念)

把零散的代数和算术公理集合在一起，卷成几粒种子，赋予它们生命力，用理性浇灌它们，用智慧滋养它们。它会迅速成长，符合自然秩序。首先长出来的一定是自然数。让我们来看看自然数是如何增长的:

1 = 1
1+1 = 2
2+1 = 3
3+1 = 4
4+1 = 5
…=…

首先明确，在自然数定义之前，0、1和∞是三个原始数，是由公理给出的。它们从一开始就存在了，没必要再讨论了，用就好。从1开始，1是已知的，而“+”是已知的。对前一个数字反复进行“+1”运算，可以不断得到新的数字。根据有序公理1 > 0和同余公理x = x，我们知道1+1 > 1，即对于任意这样的数n，由“+1”得到的新数n+1与原数n不同，n+1 > n，所以我们分别给这些不同的新数命名:

1就是1；
1+1的结果叫做2；
2+1的结果叫做3；
3+1的结果叫做4；
4+1的结果叫做5；
……

1由公理得到，2由1得到，3由2得到，4由3得到，5由4得到，…，每个新数都是在前一个数的基础上递归得到的。只要第一个1没问题，加上“+”就没问题，然后“+1”运算进行∞次，得到∞个新数。只要数是∞，这无限个新数一定都是。我们把它们统称为自然数，所以某些唯一的自然数从未知中走出来，成为已知。

这个定义叫做自然数的算术定义或加法定义。一定要注意，已知的自然数有无穷多个，不需要证明，因为数字∞已经由算术公理给出，我们可以使用。我们在定义自然数的时候，会把它们定义为无穷数。没有数∞的概念，就很难定义或解释有无限个自然数，但西方数学从来没有，他们想出了另一个概念——“后继”。

数字∞本身是自然数吗？∞不是自然数。自然数的本质属性是对于任意自然数n，有n+1 > n，且∞+1 = ∞，所以∞不能归为自然数。把1归为自然数是没问题的。0可以归为自然数吗？可以，因为0+1 > 0，自然数是从1还是从0开始，要看具体情况。如果是讨论历史上数字的发展，自然数从1开始，更符合历史事实。如果是构建数的演绎理论，似乎自然数从0开始，有其道理。这里，取前者，按顺序排列所有自然数得到:

1，2，3，4，5，…
1<2<3<4<5<…

第一列是自然数的基数形式，第二列是自然数的序数形式。基数和序数不是两个数，而是一个数，是同一个数的不同表示。基数代表数的大小，在于运算。序数的顺序可以在数列中找到。可以说自然数是我们一个一个算出来的，或者说是我们排列出来的。大小差和序差的前提是序公理，1 > 0。这个简单到不值一提，但是没有这个的大小和顺序是出不去的。1+1 = 2.为什么我们认为2 > 1，而不是1 > 2？就因为1 > 0，两边加1，就一定是2 > 1。相信很多人小时候可能都问过父母或者老师。为什么1+1 = 2？严格来说没有原因，但是根据运算法则，1+1一定不等于原来的1，而是一个大于1的新数。人们同意称这个新数字为2，仅此而已。

定义自然数的过程就是从已知数推导出未知数的过程。这里要确立一个基本原则，正确区分什么是有效的，什么是无效的:由已知推出已知数，由已知推出未知数是有效的；相反，从未知中推导出的是未知的，从未知中推导出的已知是无效的。这种区别有助于我们判断结论的可靠性。

从已知的推导可知，最经典的情况是逻辑的基本规律是恒等式，A是A(A→A)，前一个A是前提，后一个A是结论。A由A衍生而来，无可辩驳，永恒不变。是1，2，还是2，放哪里都是真的。但是，这种推演并不能给我们带来新的知识。为了获得新知识，我们必须从已知中推断未知。1是已知的，“+”是已知的，那么1+1 = 2，它是一个从已知推导出未知的过程，2直到我们知道0，1和∞，我们不知道它，它属于未知。这个过程中的前提和由前提推导出结论的方法是可以确切知道的，从而保证结论也是确切知道的，即在已知的基础上通过逻辑推导得到的新知识。1+1=?遵循同样的规则，无论谁在什么时代，必然会得到同样的结果。这种一致性是数学追求的永恒魅力。

自然数是人类最早认识并熟练掌握的数字。因为它的简单，简单到聪明的鸟都能分辨出123，更别说人了，人几乎天生就有。随着人们发现和使用越来越多的数字，人群中对数字敏感和好奇的人自然会好奇数字是怎么来的。定义自然数是试图从理论上回答自然数是怎么来的。前面的推导已经回答了。基于三个已知数0、1和∞，通过统一的方法“+1”，任意自然数重复任意次都可以得到，重复无限次就可以得到无限个自然数。无限自然数是指所有的自然数。一个定义，而不是一个一个的列举，使我们能够把无穷无尽的自然数全部收入囊中，可见理性的力量。

自然数基于0、1和∞生成。0，1和∞是原数，自然数是生成数。可以说自然数是人创造的，不是上帝创造的。上帝只需要创造三个原始数字，0，1和∞，其他数字都是人为的。如果非要说自然数是上帝创造的，那就有不尊重他老人家智商的嫌疑。想象一下，上帝是全知的，全能的，全善的。他知道所有关于创造世界的知识。如果创造世界有多种方式，那么他也应该是全知全能的，明智到选择最简单的方式来创造世界。

定义自然数有很多种方法。基于算术公理，通过加法定义自然数只是其中之一。为了加深我们对自然数的理解，我们有必要知道其他的论述或方法，比如早期阿拉伯数学家华拉齐米在《算法》(约公元830年)一书中给出的直观描述:

另外，“一”是任何数的根，所以和其他数不一样。它是数的根，因为任何数都是由它定义的。它不同于其他数，因为它是由自身独立决定的，即不需要任何数。没有“一”就不能定义任何其他数字。当你说“一”的时候，它不需要任何数来定义自己，而其他数需要“一”。所以，你不能说“二”或“三”而没有“一”，所以这些“一”的总和不是别的而是数字，所以如果你去掉“一”，我们也不能说“二”而没有“一”，“二”或“三”也不能存在。但是，“一”在没有第二第三的时候也是存在的。这是两次或者一次，别的什么都没有。同样，三不是别的，是一的三倍，其他数也是以类似的方式递归。

这一段平铺直叙，意思很明确。古希腊的毕达哥拉斯认为“万物皆有数”，而华拉子密则更进一步，试图追溯数的起源，认为“一切数为一”。虽然数字0是跟随印度数字先传到阿拉伯，再从阿拉伯传到世界其他地方的，但数字0在阿拉伯只是作为一个符号来标记空，并不认为是一个单一的数字。所以华拉子米只会说“一”是任何数的根，里面的“任何数”肯定不包括0。“一”是原始数，其他任何数都是在“一”的基础上生成的。这没问题，但是产生的方式有问题。他用乘法代替加法。“一等于一”、“二等于二等于一”、“三等于三等于一”。显然，这是不可取的。

例如，在更近的皮亚诺算术公理系统中，19世纪末，意大利数学家皮亚诺用三个未定义的原始概念定义了自然数:自然数、0和后继，以及五个公理，它们是:

(1)0是自然数；
(2)任何自然数都有后继数，所有后继数都是自然数；
(3)0不是任何自然数的后继；
(4)不同的自然数有不同的后继者，后继者相同的自然数相同；
(5)任何属于0的性质，如果也属于具有该性质的每个自然数的后继数，则属于所有自然数。

就自然而言，自然数无论怎么刻画，都要从三个方面来揭示:一是自然数有无穷多个；第二，在这无穷多个自然数中，有一个最小数，没有最大数；3.对于任意一个自然数n，都有另一个自然数n+1，且n+1 > n，对比这三点，我们来看看皮亚诺的三个概念和五个公理。

首先，自然数是无限的，这隐含在“继承”的概念中。“继承”和“继承数”是理解皮亚诺算术公理系统的关键。圆周率公理第二条规则“每个自然数都有一个后继数，后继数是自然数”，意思是“任何一个自然数后面一定跟着另一个自然数”。0是第一个自然数，后面必须跟另一个自然数。我们默认为1。1后面跟着2，2后面跟着3，…，一个接一个，一个接一个，然后全是自然数。只要我们能一致想象“一个接一个”的状态没有结束，我们就可以认为所有的自然数都是无限的。毫无疑问，这里的无穷大是潜在无穷大。

当没有无穷数，没有数∞时，人们当然不会想到用∞来生成∞自然数。他们只能用“后继者”的概念，通过规定每个自然数都必须有后继者的巧妙方法来实现无穷个自然数。聪明是聪明，但并不高明，不过是亚里士多德的位势无穷概念在数学中的具体应用。稍微关注一下这样的应用，就会发现很多。

这样，第二个问题就顺带解决了。自然数中，有最小数0，但没有最大数。遵循“逐次”法，得不到最大自然数，得到的都是N，根据第二公理，N之后，一定还是自然数。

看到这里，你是不是觉得“接班”这个概念太厉害了？让我们同时解决两个问题。其实反而可以说是“成功”和“成功”的失败。“成功”本身就是一个很宽泛的概念，经不起深究。什么样的数字后面是一个接一个的？在没有限制和解释的情况下，如果你要遵循一个自然数，你必须一直想象一个数的“后继者”是并且只能是这个数加1的结果，也就是N后面跟着N+1。人的想象力不一致的时候，为什么一定要加1？如果他们加2呢？结果是偶数:0，2，4，6，8，…，不全是自然数。

如果加0呢？结果是:0，0，0，0，…

因为有第三个公理“0不是任何自然数的后继数”，所以不会出现全零的情况，也可以排除有限个数，首尾相连，一个接一个，形成无限循环。例如，0、1、2和3是四个数字。0的后继者是1，1的后继者是2，2的后继者是3。如果3的后继数是0，就构成了一个无限循环，不能产生新的数。这种情况不会发生。再者，第四个公理“不同的自然数有不同的后继者”，可以保证得到的所有自然数互不相同。当这两项合并时，如果第一个数为0，第二个数不为0，那么此后生成的数都是不同的，因此可以认为“后继”法得到的数是无穷的。

如果减1呢？结果是:0，-1，-2，-3，…，这些仍然是无穷数，但是有一个最大数，却没有最小数，仍然不符合人们所期望的自然数。于是我们不得不在这个公理系统中加入一个隐含的假设，即后面的数一定大于前面的数。就算退一步不追究这些鸡毛蒜皮的问题，按照默认设置，你也会加1。那么1从哪里来呢？是自然数吗？五个公理看了一遍又一遍，没有一个说“1”，但是公理没有给出。怎么才能说“有东西”“用得上”？这些都说明“成功”并不是一个好的概念，也不是一个好的方法，通过它并不能精确唯一的得到自然数。

看第三条。对于任意自然数n，存在另一个自然数n+1，且n+1 > n .这很容易用算术公理来证明:从恒等式n = n的公理可以知道，n+1一定不等于n；再者，若序公理为1 > 0，则n+1>n两边相加必有n+1 > n，且只要n≦∞，则n+1 > n为常数。

皮亚诺并没有直接证明这一点，而是给出了一个证明框架，即他的第五公理:任何属于0的性质，如果也属于具有该性质的每个自然数的后继数，则属于所有自然数，这通常称为数学归纳法。具体来说，如果p是一个性质，而0具有性质p，当任意自然数n具有性质p时，如果n的后继数也具有性质p，则断言所有自然数都具有性质p..

数学归纳法在数学中应用广泛。之所以有效，不是因为数学，而是因为逻辑。“一个自然数N”推导出“所有自然数”是以专名判断为前提的全称判断的结论，这就是“归纳”的由来。这里的“一个自然数n”必须是任意的，也就是说，符号n可以指“所有自然数”中的任意一个。任意“一个自然数n”的判断如何等价于“所有自然数”的判断，任意特殊名称的判断如何等价于全称判断？我不知道。如果一时找不到原因，就当作公理来接受。只要这个公理是正确的，那么数学归纳法在自然数范围内总是有效的。

具体应用于自然数本身，如果0的后继数大于0，对于任意自然数，n大于前一个数。如果n的后继数也大于n，则断言所有自然数的后继数都大于这个数。通过将自然数n的后继数设为n+1，可以在数学归纳法的框架下证明“对于任意自然数n，存在另一个自然数n+1，且n+1 > n”。

我们知道“数是可以运算的符号”，这已经是对对数非常抽象的概括了，而皮亚诺更进一步，把“运算”拿走了，只留下符号，然后引入了“继”的概念，本质上描述的是一种位置关系。所以钢琴所理解和定义的“数”，其实是一个只有位置关系而没有运算，只有序列而没有大小关系的符号。按照这个思路，皮亚诺的算术公理所描绘的“自然数”应该是这样的:

答、答& # 39；、一& # 39；'、一& # 39；''、…

准确的说，这不是一串数字，而是一串标记位置的符号。这些符号可以理解为标记不同空房间的地址，一个地址通向一个不同的空房间。至于这些空房间里放什么，它不在乎，可以随便放，比如:

0，1，2，3，4，5，…
这是我们最想看到的。也可以是:
2，4，6，8，10，12，…
当然也可以放:
牛，鬼，蛇。

这是什么意思？说明皮亚诺的算术公理体系与我们通常理解的自然数无关。我们通常理解的自然数，必须存在于与之平行的另一个公理系统之前或之中，才有可能被放入皮亚诺公理系统的地址室空，这样皮亚诺的公理系统就呈现出“自然数”的样子。也就是说，皮亚诺的公理系统能够定义自然数，并不是逻辑推导的必然结果，而是我们一厢情愿的结果。同样，在“继承”概念的基础上，定义了所谓的加减乘除，在这些运算的基础上，定义了自然数、整数、有理数，甚至实数。事实上，他们都在沙地上建造了一个海市蜃楼。英国数学家罗素有一个结论:

如果采用这种方案，我们的定理证明就不是针对某一组叫做“自然数”的项，而是针对所有具有某种性质的项的集合。这样的计划不是谬误的；的确，对于某些目的来说，它代表了一种有价值的概括。但是从两个角度来看，它并没有给出一个合适的算术基础。首先，它不能使我们知道是否有任何一组术语证实皮亚诺的公理；它甚至没有给出任何方法来找出这样一个集合是否存在的最模糊的暗示。第二，如我们所见，我们希望我们的数可以用来计数普通的物体，这就要求我们的数应该有确定的意义，而不仅仅是一些形式上的性质。

基于算术公理定义自然数，用的数是1，用的运算是“+”。一个数，一个运算，可以演绎出五颜六色，无穷无尽的自然数。惊叹的同时要明白，数字的本质在于运算，数字和数字的运算是一个不可分割的概念。两者必须同时运行在公理的层面上，数字的种子才能生根发芽，茁壮成长。理解钢琴的公理系统不能离开这个本质，理解其他算术公理系统也是如此。