科普下自由落体的公式是什么 自由落体公式如何表示(鹿晗黄子韬)

■赵

自由落体运动是一种简单的匀速直线运动。通过对自由落体运动最后n秒的学习，希望学生能更好地理解和运用自由落体运动规律，培养科学思维。

关键词:自由落体运动；高中物理；一题多解

两道例题的解析

自由落体运动是初速度为零、匀加速的直线运动。加速度为重力加速度G，其基本运动规律如下:

自由落体运动公式

图1

在学习自由落体运动的过程中，经常会遇到求解物体落地前最后1s、最后2s、最后ns的位移，或者知道最后1s、最后2s、最后ns的位移，求解其他运动学量的问题。在这里，我们将通过两个例子来深入研究这些问题，供大家参考。

示例1

一块鹅卵石从离地面空125米的地方自由落下。如果忽略空的空气阻力，求卵石落地前最后1s内的位移。(G需要10米/秒)

解1(错误解):已知卵石运动时间为1s，落地前最后1s内的位移为:

错误的答案

2.解:卵石下落时间可由公式②得到，如下:

卵石下落时间

下降高度的前四秒是h & # 39

所以卵石在落地前最后1s的位移为:

δh = h-h & # 39；=45米

3.解:从v =2gh，可以得到鹅卵石的落地速度如下:

着陆速度:v=50m/s

卵石在落地前最后1s开始时的速度为:

v₀=v-gt =(50-10×1)米/秒= 40米/秒

所以卵石在落地前最后1s的位移为:

4.解法:首先，求卵石下落的总时间。然后根据初速度为零的匀加速直线运动，求相邻连续相等时间内的位移比公式。公式为X: X: X:: X = 1: 3: 5:: (2n-1)。

卵石下落的总时间为:

首先，求5秒内鹅卵石下落的总时间。

然后求第一秒下落的位移。

设卵石落地前最后1s内的位移，即第5s内下落的卵石的位移为H，则有:

评论:解1错误的原因是没有理解自由落体运动规律。对于自由落体运动的中段，初速度不为零，不能直接应用自由落体运动定律。4.该解决方案应用了匀速直线运动的推论。由于自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以匀变速直线运动的推论是适用的。

示例2

据说牛顿坐在一棵苹果树下，苹果落在他头上。他突然灵机一动，总结出万有引力定律。科学家对现象的观察和思考值得学习。如图，一棵苹果树的树干有1.4m高。由于受到干扰，苹果从树冠上自由落下。测得苹果通过树干的时间为0.2s，重力加速度g = 10m/s，苹果下落过程中的阻力忽略不计。求冠的高度。

解析:已知一棵苹果树的树干高度和苹果通过树干所用的时间，实际上意味着苹果落地前最后0.2s的位移为1.4 m，这是与例1相反的过程。

1.解法:设树冠高度为H，由公式②可知:

自由落体运动公式

苹果落地时间

联立① ② ③，得到替代数据:h = 1.8m。

2.解法:设苹果通过树冠的时间为T，则落地时间为t+0.2。

根据公式②:

树冠和树干高度

h₁=0.5g(t+0.2) ①

树冠高度

h₂=0.5gt ②

这个问题的意思是:

h₁-h₂=1.4 m ③

同时① ② ③，代入数据解:

t = 0.6s秒

所以皇冠的高度是

h₁=0.5gt =

h₁=1.8m

3.解法:设苹果通过树冠末端的速度为v，从运动学公式可知，苹果通过树干的过程中

匀速直线运动一段时间的平均速度等于这段时间中间的速度，即苹果通过树干中部的速度v=7m/s，假设苹果通过树冠的时间为T，则苹果到达树干中部的时间为t+0.1。

其中v=g(t+0.1)

将数据代入解中:t = 0.6s

所以皇冠的高度是

h = 0.5gt = 0.5x10x0.6米=1.8米

6.解:对于初速度为零的匀加速运动，相邻连续等时间t内的位移比是:

x₁:x₂:x₃: :xₙ=1:3:5: :(2n-1)

取T=0.2s，苹果在第一个T时间的位移为:

h=0.5gT =0.5×10×0.2米=0.2米

苹果在第n次hₙ=1.4m的位移，那么

h₁:hₙ=0.2:1.4=1:(2n-1)

得到n=4。

所以苹果通过冠层的时间是t = 0.6s。

皇冠的高度是

h=0.5gt =0.5×10×0.6米=1.8米

点评:题目设置了新的物理场景，但本质还是自由落体最后n秒的问题。方案1直接，但计算量大，对计算能力要求高；方案2、3、4不直接设置高度，而是间接设置时间和速度，减少了计算量，属于基本方法；方案5和方案6利用了匀速变化的直线运动的推论，方法巧妙，大大减少了计算量。

习题:一个小球从一定高度自由下落，空不考虑空气阻力，G为10m/s，如果球落地前最后1s的下落高度是整个下落高度的9/25 (9/25)，那么球刚下落后的高度是多少？

(参考答案:125m)

对比例1和例2，我们发现已知条件和未知条件是互反的，但本质是一样的，都属于自由落体运动最后n秒的求解问题。解决这类问题的常用方法有两种:一种是差分法，即用总位移减去最后n秒前的位移来求解或建立方程；二、初速度法，即假设最后n秒开始时的速度，用位移公式求解。这类问题有多种解法，在日常学习中要注意一题多解，举一反三，从而掌握运动规律和它们之间的关系，培养学生的发散思维和创新思维。

参考资料:

[1]王云。如何求解自由落体高度的例子？

[J]。湖南中学物理，2017，32(09):97，78。

[山东省青岛市即墨艺术学校(266200)]

文章来源:

数学物理学习(高中版)第7册2021

作者简介:赵(1979-)，男，湖北襄阳人，本科学历，讲师，主要从事高中物理教学研究。

伽利略的荣耀时刻

1581年，17岁的伽利略进入比萨大学，开始了他作为一名医科学生的大学生涯。

……

在老师眼里，集逃学、口才、聪明于一身刁难教授的伽利略无疑是“坏学生”的典型。历史处处蕴含着奇妙的辩证法:“好学生”在旧秩序中表现突出，“坏学生”在新秩序中表现突出。新秩序培养了一批新的“好学生”，正等着新秩序中的“坏学生”来埋没自己。批量生产的“好学生”最多能承担书写或复制历史的任务，而留存于世的“坏学生”则是历史的开拓者和引路人。

反证法

…对于同一件事，矛盾的陈述不可能同时为真，相互对立的命题也是如此…

——亚里士多德的形而上学

和哥白尼、第谷、开普勒甚至阿奎那、布鲁诺一样，伽利略在神学院(大学)接受了系统的中世纪经院教育，以追溯到毕达哥拉斯和柏拉图的“自由七艺”为主要内容，包括“三科”(语法、修辞和逻辑)和“四科”(算术、几何、性情和天文学)。打着天主教旗号的“七艺”继承了古希腊哲学家、古罗马法学家的思维模式，在亚里士多德、阿奎那、伽利略之间连成一个秘密的环节。

……从静止开始的匀加速直线运动——“自然加速运动”。物体开始下落后某一时刻的速度与时间成正比(在任意相等的时间间隔内，速度的增量相等)。比例系数定义为“加速度”，这段时间运动的平均速度是最终速度的一半。这个结论的证明延续了古希腊的几何传统，实质上奠定了后世解析几何和微积分的雏形。

这组几何描述的一个自然结论是:匀加速直线运动的起点到任意位置的距离与时间的平方成正比——如果这个匀加速运动是自由落体，那么这就是所谓的“自由落体定律”。它还有一个可以在经验世界检验的推论:从其余部分来看，任意相邻的相等时间间隔内的移动距离之比是1:3:5:7:9……刚好构成奇数列——这是毕达哥拉斯的发现。

……

伽利略带着真正的“比萨斜塔”上台——一个带有凹槽的木制斜坡…

取一块约12肘①长、半肘宽、三指厚的木模板或边角料，在上面挖一个略宽于一指的凹槽，使其非常平直光滑。用羊皮纸把它垫得尽可能平整光滑，我们的凹槽释放出一个坚硬光滑非常圆的铜球。将这块木板倾斜放置，使一端比另一端高一至两肘。我们如前所述释放铜球，用后面介绍的方法测量滚动时间。为了达到时间测量的精度，两次观测的误差不应超过脉冲的1/10，我们不止一次地重复了这个实验。完成这个操作并确认其可靠性后，我们现在只在槽长的1/4处释放铜球，测量滚动时间。我们发现正好是前者的一半。接下来，我们尝试其他距离，将铜球滚下全长的时间与1/2、2/3、3/4或任意分数长度的时间进行比较。在这些重复数百次的实验中，我们总是发现，这个规律对我们放铜球的凹槽所在的任意斜面的斜面都成立，以距离与时间的平方之比表示。我们还观察了各种斜坡滚下时间的确切比例，接下来会看到作者已经预言并证明了。

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①一肘约45.7-55.9cm..

为了测量时间，我们把一个大的盛水容器放在更高的地方；在容器底部焊接一个小口径的管子，可以射出细小的水流。无论铜球从整个或部分水槽长度上滚下，每次滚下时射出的水都被收集在一个小玻璃杯中；每次铜球滚下来，收集的水都在非常精确的天平上称重；这些重量差异和比例为我们提供了每次的差异和比例，达到的精度是这样的，即使重复操作很多很多次，结果也没有明显的差异。

——《谈两门新科学与数学证明，第三天》

……

哲学(换句话说，自然哲学)写在一本伟大的书里——我指的是宇宙。这本伟大的书不断拓宽我们的视野，但我们无法阅读它，除非一个人首先学会理解它所用的语言和文字。它的书写语言是数学，文字是三角形、圆形等几何图形。没有数学，人类就不可能解读这些词中的任何一个；没有数学，人就会在黑暗的迷宫中徘徊。

——伽利略的《黄金测试者》

本节节选自:

李清洲的《特尔斐的囚徒》:从苏格拉底到爱因斯坦

伟大的实验:曹则贤评伽利略斜面实验

作者|曹则贤(中国科学院物理研究所)

苍天不生仲尼，永恒如长夜。

-[宋]唐瑜

伽利略是近代科学和物理学的奠基人，被誉为上帝保佑的数学家，托斯卡纳的阿基米德，真正的艺术和科学鉴赏家，天才的工匠，学术自由的殉道者。伽利略把有效的量化带入物理学，用天体观测结果否定了地心说，制作了温度计，发现了惯性定律、单摆周期公式、落体公式，以及被视为伽利略相对论的关于运动的知识。伽利略留下了大量充满思想、文笔优美的著作，是物理学的启蒙经典。

“伽利略”号

一个

伽利略传

如果不是生活所迫，谁会让自己才华横溢？我以为这句话是个玩笑，没想到世界上还有这样的人。意大利历史上有这样一个人，他被称为神圣的数学家，托斯卡纳的阿基米德，真正的艺术和科学鉴赏家，是第一个将有效的量化引入物理学的人，从而使物理学不再像以前那样仅仅是定性的描述，他是亚里士多德理论的对手，哥白尼理论的捍卫者，数学的标准制定者，耶稣会士最讨厌的人，学术自由的殉道者(哥白尼的捍卫者，数学的旗手，耶稣会士最讨厌的人，或者说是学术自由最著名的殉道者)。这些都不是没有天赋或者天赋的东西。它们关系到人类的启蒙。这个人就是伽利略(图一)。伽利略是一个全才，但他也是在艰辛中取得那些辉煌成就的。有评论说，如果伽利略不是为了谋生，他可能不会成为这些角色中的任何一个(如果他不是为了谋生而工作，他就不会有这些东西)。

……

那么，如何定量研究落体呢？我们知道，一个物体从20米高处落下，大约需要2秒钟到达地面。在伽利略的时代，没有钟表和高速摄影。这个怎么研究？伽利略发现，一个球滚下一个斜坡，如果斜坡的仰角足够小，将下落足够长的时间进行有意义的测量。大约在1604年，伽利略将木制斜坡的仰角缩小到17度(图5)。伽利略在斜坡上安装了一个位置可调的钟。当金属球滚到铃铛上时，就会发出铃声来宣告球的通过。调整伽利略钟的位置，使钟声以(大约)相等的间隔响起。测量铃之间的间距(对于第一个铃，是球开始下落的距离，一般选在坡顶)。发现间距比例约为1:3:5:7……(这里没有精确测量。精确的测量和计算机模拟会失去所有简单的规则。物理学是用头脑建造的)。这意味着，随着时间单位的增加，球滚动的距离为12: 22: 32: 42…从而得出落体定律。

。这部分可以在伽利略关于两种新科学的对话中找到。我们上微积分的时候就知道落体公式是h = at。对于自由落体，h = gt，g是重力加速度。注意，这里又是Y = KX型关系。事实上，法国中世纪学者奥拉西(1320~1325？-1382)匀加速运动的距离-时间平方定律以前已经得到。

伽利略斜率

注:以上内容摘自曹则贤《壮美是一》第一章，内容已删除。在另一篇文章中，他评论伽利略的斜面实验:

实验是一门需要天才的艺术。作为如何做实验的一个伟大而典型的例子，我可以举伽利略如何得到落体h = at定律的例子。试想当时伽利略还没有计时器(挂钟还在等待他的原理发明)，其次，在他能得到的条件下，下落时间只有两秒左右，他无法得到落体在不同时刻的位置。伽利略应该怎么做？向政府申请一大笔钱？重点是钱解决不了思维差的问题。伽利略首先想到的是用一个斜坡来得到下落过程的规律——自由落体就是在一个90°的斜坡上滚动(我做了30年的实验，从来没有过这么天才的想法)。斜坡可以延长下降时间，从而可以记录位置。他把斜坡的坡度减小到17度。其次，他在斜坡上放置了一些位置可调的小铃铛。球滚过响铃，钟声的鸣响间隔可以用来标记时间(图3)。伽利略用自己的脉搏和哼唱的曲调来计时。没有思想的精确数据有什么用！)，调整铃的位置，让他在两个铃之间的距离上滚动由脉冲和嗡嗡声标记的球用的时间差不多。这样，相邻铃之间的距离就是球在不同的下落周期以相同长度的时间间隔滚动。测量钟与钟之间的距离，发现钟与钟之间距离的比值是近似的(粗略近似)。没有思想的精确数据有什么用！！)是1: 3: 5: 7: 9…，也就是说，在n个时间单位内，球在下落过程中滚动的距离是n个距离单位，所以落体定律应该是h = at，其中a是未知的比例系数。嗯，那是个实验。