sin平方x等于多少()

原文:https://betterexplained.com

翻译:http://jakwings.is-programmer.com/posts/29546.html

弧度与角度

圆的角度是360度，这是显而易见的事实吧？

不对。大多数人不知道圆为什么是360度。我们只是把它记成了一个幻数，也就是“圆的大小”，导致我们在以后的物理或数学学习中对所谓的“弧度”感到困惑。

专家说“弧度让数学更简单！”，但从来不解释为什么(涉及的泰勒级数不简单)。今天，我们就来揭开弧度真实的一面，了解一下它为什么用更直观的方式让数学变得更简单。

4.1 角度是从哪里来的呢？

在数字和语言发明之前，我们有星星。古代文明用天文学来标记季节，预测未来，告慰神灵(人们祭祀时要守时)。

这和角有什么关系？好吧，孩子，猜猜这个:圆圈有360度，一年有365天，这不是很奇怪吗？一年中，星座只是在天空中盘旋空。是不是很奇怪？

如果你不懂航海，就不能像海盗一样通过夜晚空判断季节。这是2008年，在纽约看到北斗七星(大熊星座)的星图(如图)。

星座每天都在绕圈。如果你每天在同一时间(午夜)观察它们，它们会在一年内画出一个完整的圆。这是角度生成的理论:

人类注意到星座每年都划一个完整的圈每天，它们都移动一点（“一度”）因为一年大概有360天，所以一个圆也就有360度。

但是，但是...为什么不是365度？

不要太苛求:他们有日晷仪，但他们不像我们一样确切知道一年有多少天。46660.68668686661

30足够满足当时的需求了。它完全符合巴比伦的60进制计数法，并且可以被整除(可以被2、3、4、6、10、12、15、30、45、90整除)

4.2 基于太阳的数学看起来非常合理

地球只是没有被选中:一年360天都是完美的。但这似乎完全是武断的:如果是在火星上，一个火星年更长(火星日也更长，不过你明白要点就好)，所以圆大概是680度。在欧洲的一些地方，使用另一种日历。一个圆被分成大约400个部分。

很多解释到这里就结束了，“圆的角度是任意的，但我们总是需要选择一个数字来表示它”，而不是“要想理解角度的整个假设基础，就必须回到过去”。

4.3 弧度有规则，角度则是在胡扯

一个角度是一个数字I。观察者需要倾斜他们的头才能看到你，这个运动员。太自私了，你不觉得吗？

你:嗨，比尔，你去了多远？

比尔:嗯，我的速度很快。我走了大约六七英里—

你:闭嘴。我的头移动了多远才能看到你？

比尔:什么？

你:我简单说一下。我在跑道中间。你到处跑。我的头转了多少？

比尔:你这个混蛋。

自私，是吧？这就是我们使用数学的方式！我们写下方程式“嘿，我的头转了多少才看到行星/摆钟/轮胎在动？”。我敢打赌，你从来不在乎摆动时钟的感觉。

你不认为对于运动员和观察者来说物理方程应该保持简单吗？

4.4 弧度：不再自私的选择

很多物理问题(包括生活中的大部分)都需要你选择一个参照系，从第三方的角度去观察。与其关心我们的头转了多少，不如考虑别人走了多远。

角度是通过测量我们的头转动了多少来确定的。弧度是通过测量行进的距离来确定的。

但是绝对距离是没有用的，因为走十英里是跑道与跑道不一样的。所以我们除以半径得到一个更广义的角度:

弧度=行进距离/半径

你经常看到的形式是θ = s/r，或者以弧度为单位的圆心角=弧长除以半径。

一个圆有360度或2πr/弧度，一个完整圆的距离是2π r/r，所以一个弧度大约是360/2π或57.3度。

但不要像我一样“记住一个神奇的单位量，57.3度好奇怪”。因为你还在从自私的角度考虑。

移动一个弧度(单位)是非常正常的距离。换句话说，“一个干净的90度角”意味着“一个非常难看的π/2单位”的运动。想想这个——“嘿比尔，你能帮我跑90度吗？那是什么？哦，没错。在你看来，那就是我π/2英里以外的地方。”这两种方法都很有特色。

弧度是一种换位做数学的方式——不再是站在运动员的角度考虑问题，而是观察者的头转了多少。

严格来说，弧度是一个比例(两个长度之比)，没有范围限制。总的来说，我们不是数学机器，可以帮助我们认为弧度是“单位圆的距离”。

4.5 使用弧度

我还是习惯用弧度来思考。但是我们经常会碰到“移动距离”这个概念:

我们测量一个转动速度时使用“每分钟的转数”而不是“每秒转过的角度”。这是以运动者的参考点（“走了多少圈呢”）来考虑，而不再是考虑任意的角度测量。人造卫星绕地球转动时，我们能理解“英里每小时”这个速度，但是不能理解“角度每小时”这个速度。现在除以距离便得到人造卫星弧度每小时的速度大小。正弦函数，非常神奇的一个函数，可以利用弧度来定义：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

这个公式只有当x是弧度时才成立！为什么？正弦函数是基于移动的距离，而不是基于头部的旋转。这个问题我们以后再详细讨论。

4.6 弧度示例1：公车的轮胎

我们举个现实生活中的例子:你有一辆半径两米的公交车(这是一辆怪物公交车)。我说公交车轮胎转几个街区，你说你从公交车上走多快。你准备好了吗？

“轮胎每秒旋转2000度”，你会这样想:

好的，轮胎以每秒2000度的速度旋转。这意味着2000/360，也就是每秒5又5/9转。周长= 2π r，所以它转了，呃，2乘以3.14乘以5又5/9圈...我的计算器在哪里？

“轮胎每秒旋转11弧度”，你可以这样想:

弧度是沿着单位圆移动的距离——我们只需要用它乘以真实半径就可以得到我们移动的距离。11乘以2等于每秒22米。下一题。

哇！没有复杂的方程，没有麻烦的π-只是简单的乘法然后旋转的速度可以转换成直线运动的速度。一切都只是因为用弧度表示。

反过来做也一样容易。假设我们在高速公路上以每秒90英尺(每小时60英里)的速度行驶，轮胎为24英寸宽(半径为1英尺)。我们转动几个轮胎？

好，每秒90英尺/1英尺半径=每秒90弧度。

很简单。我甚至觉得说唱歌手唱《24个轮圈》就是这个原因。

4.7 弧度示例2：sin(x)

我们举个更好的例子。计算涉及许多事情，其中之一是当数字变得很大或很小时会发生什么。

选择一个度数(x)，然后在计算机中输入Sin(x ):

当你取一个小x，比如0.01，Sin(x)也会变得很小。而Sin(x)/x的值约为0.17——这意味着什么？再者，乘以或除以一个角度是什么意思？你能画出这个角的平方或立方吗？

Arc是救世主！跟走过的距离有关(不止是比例！)，我们可以这样解释这个方程组:

x是沿着一个圆走了多远sin(x)是你在这个圆上有多高

那么sin(x)/x就是你的高度与你走过的距离之比:也就是你在向上的方向上所拥有的能量。如果垂直移动，那么比例是100%，水平移动是0%。

如果我们移动一个小角度，比如从0度到1度，那么它基本上是垂直移动的。如果是一个更小的角度，比如从0到0.00001度，那么它真的是垂直向上移动。它移动的距离几乎等于它的高度。

随着X的减小，比值逐渐接近100%--更接近垂直运动。弧度帮助我们直观的理解为什么当x足够小时，sin(x)/x接近1。我们只是在垂直方向上稍微向上推了一下。这也揭示了为什么当只有x取较小值时，sin(x)约等于x。

请记住，这些结果仅在以弧度测量时有效。如果是基于角度，那你就是在拿你的身高和你脑袋转过的角度做比较。这个比例变化很快。

4.8 那么有很么意义呢？

角度有它的位置:在我们的生活中，我们在自己的焦点中，观察周围的事情如何影响我们。我的望远镜应该倾斜多少度，我的滑雪板应该转多少度，或者方向盘应该转多少度。

对我们来说，观察和描述其他运动的物体是很自然的事情。弧度是关于移动的物体，而不是我们。我花了很长时间才意识到这一点:

角度是任意的，因为它是基于太阳运动的（365天~360度），但是因为是基于观察者的角度，所以比较落后。因为弧度是以运动者的角度来定义的，所以公式简单明了。把转动速度变为线性速度相当简单，而且sin(x)/x之类的也有意义。

甚至角度也可以从不止一个角度来理解，理解弧度可以让数学和物理更直观。我希望你能享受快乐数学。(完)