双曲线的准线(双曲线的准线的性质)

改正并道歉

首先:纠正并道歉。在上一篇文章《椭圆性质概述》中，有细心的读者发现了文章中的两个错误。现声明更正如下:

1.椭圆直径性质的证明过程更正如下:

2.焦点三角形面积公式修正为:

再次为文章编辑过程中出现的错误道歉。希望大家继续关注，积极指正。

上一篇文章已经总结了椭圆的性质，本文总结了高考涉及的双曲线的一些性质。

注意:下面的讨论只关注X轴上的双曲线属性。

双曲线定义

1.第一个定义

平面上两个固定点F1和F2的距离之差的绝对值为常数2a的移动点P的轨迹称为双曲线，其中2a

2.第二个定义

平面到定点的距离f (c，0)与到直线的距离之比l: x = a/c为常数e = c/a (e >: 1)该点的轨迹为双曲线。定点f (c，0)是双曲线的左右焦点，定线L: x = a/c是双曲线的左右准线。

给出第二个定义的证明:

以右焦点和右十字准线为例:

上述定义可以作为判断定理或性质定理。

双曲线方程

1.双曲线标准方程

没有更多的细节。

2.双曲线参数方程

注:sec为正割函数，secθ=1/cosθ。

其中θ为参数，θ的几何意义如下:

以双曲线的实轴和虚轴为直径作圆C1(图中大圆)和C2(图中小圆)，以双曲线中任意一点M作X轴的垂线，垂足为a’。通过a '作圆C1的切线，切点为a..圆C2和X正半轴的焦点B与圆C2相切，过M且平行于X轴的直线过B' O点，a和B '共线，∠AOx为参数θ。

切线

1.双曲线的切线定理

双曲线的任何切线都平分切点所在的焦点三角形的顶角。

∠ α = ∠ β图中，相对的顶角相等，切线是焦点三角形的一条角平分线。

省略证明。这个性质在高考中很少用到，但是它揭示了双曲线的一个光学性质，高中数学课本中也有提到，就是双曲线的一个焦点发出的光被双曲线反射，它的反向延长线会聚在另一个焦点。

2.双曲正切方程

通过双曲线的点P(x0，y0)的切线方程为:

用下面的求导方法给出证明:

上述证明过程使用隐函数求导，高中不涉及。有兴趣的同学可以尝试用二次函数判别式求导。

3.双曲正切弦方程

超越双曲线，在双曲线上画两条切线(如果有的话)。切点为A，B，过A，B的切弦方程为:

这里需要注意的是，过双曲线外(或上方)的一点最多只能做两条切线。查看以下详细信息:

4.双曲正切的存在性

如图:双曲线和渐近线将平面分为ABCDEF的六个区域:

1.当p位于a区和b区时，可以在双曲线的每条分支处作一条过p的切线；

2.当P位于C、D区域时，可以在P经过的双曲线较近的分支上作两条切线；

3.当P位于区域E和F时，过P时不可能切线；

4.当P在一条双曲线上时，只能在P过P的点上做一条切线；

5.当P位于渐近线上(不包括原点)时，当P相交时，只能在双曲线较近的分支上作一条切线；

6.当P在原点时，切线不能通过P；

具体列表如下:

直径

穿过双曲线中心的弦叫做双曲线的直径。轴是双曲线最短的直径，可以无限长，所以双曲线没有最长的直径。双曲线直径所在直线斜率的绝对值一定小于渐近线斜率的绝对值。

1.双曲线直径性质

双曲线上的点与双曲线直径两端连线的斜率(如果有的话)的乘积是一个定值，这个定值就是E-1。

特殊:双曲线上任意一点到实轴两端连线的斜率的乘积是一个定值E-1。

2.双曲线的直径很长

双曲线直径长度的公式是:

其中k是直径所在直线的斜率。请学生自己推导这个公式。显然，直径存在的充要条件是| k | < b/a .

特殊:当k=0时，上式结果为2a，为实轴；当k趋于b/a，即渐近线的斜率时，上述公式的结果趋于无穷大。

焦半径

1.长焦距半径

焦距半径长度:|PF1|=|ex+a|，|PF2|=|ex-a|(F1和F2分别为左右焦点。P在右支时，方程右端的绝对值为正，P在左支时为负)。

根据排列的定义，这个过程是简单的。

2.焦点半径的性质

焦距短的圆外接实轴的圆，焦距长的圆外接实轴的圆。

以右支上的P点为例来证明:

证明:设直径为PF2的圆心为O2，圆O2的半径为r2=(ex-a)/2。

以长轴为直径的圆心为坐标原点O，圆O的半径为r=a，

两个中心的距离|OO2|=(ex+a)/2=r+r2，

因此，直径为PF2的圆外切长轴直径的圆。

类似地，直径为PF1的圆与长轴直径的圆内接。

3.焦点和弦

焦点弦长公式为:

其中k是焦点弦所在直线的斜率。请学生自己推导这个公式。

当| k | :当B/a时，焦点在焦点和弦上。当|k|=b/a时，焦点弦不存在(或者无限长)。

特殊:当k=0时，上式结果为2a，为实轴；当k趋近于无穷大时，上式的结果就是路径长度:2b ^ 2/a。

4.焦点三角形

焦点三角形面积公式:

简要证明

双曲线与椭圆

双曲线的两个顶点A1、A2和一条平行于Y轴的直线相交于双曲线的两个动点P1、P2，直线A1P1和A2P2的相交轨迹是一个等距椭圆。反之亦然。

其他

1.判别式

线性方程y=kx+m与双曲线方程结合后，关于x的二次方程的判别式:

注:双曲型方程联立时，先讨论B-AK是否为0。如果是0，即直线的斜率与渐近线的斜率一致，那么联立方程后关于x的方程就是一阶方程，不存在判别问题。

2.通用弦长公式

通用双曲线弦长公式:

省略上述公式的推导过程。显然，当m=0时，公式退化为直径公式；M = KC，即直线过焦点时，公式退化为焦点弦公式；当|k|=b/a时，弦长不存在(或者无限长)。

文|洞察，转载请注明出处。