如何确定数字基带信号的带宽(模拟信号带宽和数字信号带宽)

在工作和学习中，我们通常会遇到一些基本的技术问题，比如波特率为B的信号，它的频谱宽度是多少？

说一下这个问题的基本，但答案并不简单。今天分享一些基本概念，希望能回答以上问题。

1.信号速度

与速率相关的参数通常用于指示信号的速度。例如符号率、符号率、波特率、比特率、信息率等。

实际上，符号率也称为符号率和波特率，表示单位时间内发送多少个符号，单位是波特。

比特率，也称为信息速率，表示单位时间内传输的信息量(位数)。单位是比特/秒，有时也用bps(比特每秒)。

2.信号的宽度

在时域中，信号的宽度可以用符号周期或符号周期Ts来表示。这个很好理解，就是一个符号占用的时间宽度，也就是波特率的倒数。单位是s，当然还有对应的比特周期Tb，代表每个比特占用的时隙。与符号周期的关系为Tb= Ts/log2(M)。m是每个符号携带的比特数，一般称为调制阶数。

当然，实信号的符号周期也与具体的码型有关，尤其是脉冲状信号，比如空不同比值的归零码(RZ)，如图1所示。

图1. 不同占空比的RZ码脉冲形状图一。不同空比的RZ码的脉冲形状。

从频域来看，信号的宽度通常用频谱宽度来衡量。理论上，通过傅里叶变换，把时域信号变换到频域就可以知道谱宽是多少，自然回答了最初的问题。但其实只告诉你波特率是B，傅里叶变换真的很难找到频谱宽的那个。比如如下图2所示，在相同的波特率下，不同的码型有不同的频谱形状。同样，如图3所示，不同调制格式(线路编码)的普通NRZ和双二进制(DB)之间的频谱差异也非常大。此外，我们经常听说脉冲整形，即常见的(根)升余弦滤波器(R) RC，如图4所示。不同的滚降系数显然具有不同的带宽。

显然，在时域中具有窄脉冲宽度的RZ在频谱方面占据了大的带宽。相反，频谱较窄的信号(通常由滤波器限制引起)在时域上的响应周期较长。也就是说，频域的带宽限制或频谱切割会导致时域的信号脉冲展宽，从而导致相邻信号之间的码间干扰(ISI)。也很好理解，因为从本质上来说，时域和频域的宽度是成反比的，这一点从傅里叶变换也可以看出来。

具体来说，NRZ、PAM 4、DB无脉冲整形的信号功率谱密度计算公式如下。

既然没有办法简单的知道波特率为B时信号的确切频谱和带宽，那么极限情况下占用的带宽，也就是最小带宽是确定的吗？也许现在问这个问题不值一提，但如果你在100年前思考并解决了它，你将是一个可以和香农相比的大人物。

原来，早在1924年，瑞典科学家奈奎斯特就推导出了理想低通信信道下无失真的最高符号传输速率公式:

理想通信信道中最大符号速率b = 2wbaud

其中W是理想低通信信道的带宽，单位为Hz；波特是波特，即符号传输速率的单位，1波特是每秒传输1个符号。这是奈奎斯特第一定律。怎么理解呢？

1)给定带宽，在无噪声的情况下，确定最大符号速率；也就是说，每赫兹带宽的理想低通信信道的最高符号传输速率是每秒2个符号。如果超过这个符号速率，将引入符号间干扰，这可能导致传输错误。

2)W的低带宽通信信道的最大容量(比特率)也是在不考虑噪声的情况下确定的，Cmax = 2*W*log2(M)，M为调制阶数。注意，这个容量是不考虑噪声时的容量，而香农公式考虑了AWGN噪声。

3)要提高信道的比特传输速率，至少有两条路径。一方面可以增加信道的带宽，另一方面可以选择更高阶的调制模式。

4)传输理想带宽信号时，即带宽为W时，最高符号速率为W波特。

5)反之，当波特率为B时，信号占用的最小带宽也是确定的:对于基带信号(等效信道模型为低通信信道)，最小带宽为B/2hz；对于频率带宽传输(等效信道模型为频段通信信道)，所需最小带宽为B Hz。

至此，上述问题均已解决。不过，我想再解释一下带宽的概念。在模拟通信系统或传输介质中，“带宽”是指信号频率的通过频率范围，如通常所说的器件3dB带宽，是指满足一定程度响应衰减的时频带宽的宽度，单位为Hz。在数字通信系统中，“带宽”有时用来指传输信道的信道容量，即信道中传输信息的最大值，单位为比特/秒，比如我们经常听到“xx的光纤带宽是100M & # 34此时意味着宽带上网最大传输速率为100 MB/s。

知道波特率为B，理论上基带信号所需的最小带宽为B/2，而频率带宽传输所需的最小带宽为B，我们就可以解释一些事情了。例如，1)当先前共享的OSNR和SNR相互转换时，假设接收到信号的最小带宽。当时我们假设波特率和信号带宽是一样的。2) WDM系统当通道间距等于波特率时。我们称之为奈奎斯特WDM系统，因为它正好符合奈奎斯特第一准则。3)对于带宽为B的信号，采样率至少应为2B。其实这个很好理解。以AWG/DAC产生的信号为例。当采样率为2B时，波特率最大为2B。此时，每个符号有一个采样点(1个sam/sym)。根据Nyuqist的第一准则，我们知道低通信信道的最小带宽正好是B？这似乎证明了带宽为B的信号至少需要采样速率的2B倍。

等等，这个结论有点耳熟。其实这不就是信号处理中常说的奈奎斯特采样定理吗？为了确保能够从离散数字信号中恢复原始模拟波形而不失真，采样速率至少应为原始信号的两倍，否则会发生频谱混叠，如图5所示。这个定理不需要解释。但是，有一个误区，人们可能往往不理解。在相干光通信中，接收端的ADC采样速率通常设置为波特率的两倍。你可能通常认为这里的double正好是采样定理的double。其实不是的。根据采样定理，实际上正好是1倍。由于波特率为B，其基带电信号的最小带宽为B/2。根据采样定理，最小采样率为2 * B/2 = B，也就是说，理论上，接收端的最小采样率实际上等于波特率。但是为什么人们通常不这么做呢？实际中，相干检测后，由于本振和信号光之间的频率偏移，相干检测得到的信号并不完全在基带上，会有最大5GHz的频率偏移(考虑激光器生命周期2.5GHz的最大频率偏移)。此时，如果仍然使用波特率进行采样，则会发生频谱切割，从而降低性能。所以实际上我们可以看到，很多相干系统中会用到1.2倍和1.3倍过采样率进行后续的信号处理，既保证了性能不会太降级，又避免了对硬件的高采样率要求和过大的功耗。

是不是带宽小于B/2，就一定不能用来传输波特率为B的信号？不，这个结论其实是奈奎斯特在1928年发现的。控制在某些符号的采样时刻引入符号间干扰，而在其他符号的采样时刻不引入符号间干扰，可以使带宽利用率达到理论上的最大值，同时降低对定时精度的要求。这是奈奎斯特第二定律。满足奈奎斯特第二准则的波形通常称为部分响应波形。使用部分响应波形的基带传输系统称为部分响应系统。前面提到的二进制(DB)是部分响应波形的典型例子，DB也被认为是解决50G PON的高功率预算和低成本的有竞争力的解决方案。从上面我们也可以看出，波特率为B的DB信号的带宽是NRZ信号的一半，所以DB编码的信号在传输过程中占用的信道带宽要小于NRZ，后者通常只能占用1/4的波特率。虽然会有ISI，但在接收端采用适当的均衡和解码算法，仍然可以实现无差错传输。

3.信号的效率

信号功率效率:发送一个1位信号所消耗的平均功率。这是衡量传输系统功耗水平的一个重要参数。目前商用远程相干系统的典型功耗可以控制在20W/100G以内。但这取决于光模块的封装形式以及DSP芯片的算法和技术。

信号的频谱效率:单位带宽传输的比特率。定义如下:

SE =信道比特/信道间隔

在光通信中，注意上式中的分母是信道间距，而不是信号的频谱宽度。比如目前最典型的100G商用系统，50GHz区间DWDM，其频谱效率SE = 2 bit/s，这是一个非常重要的指标，因为光纤的电流容量主要取决于光纤的低损耗窗口和光放大器等光器件的工作带宽。要提高光纤的容量，显然，提高频谱效率比提高单波率更有效。比如我们简单的把100G升级到200G，把信道间距增加一倍，WDM的波长数就会减少一半，总容量不会增加。

提高频谱效率的方法有很多，比如增加空之间的信道数是最直接的方法，采用空频分复用(SDM)技术，使用相同的频率资源，并行传输多个信号。不过目前处于研究阶段，商用还需要一段时间。例如，如果信号的调制阶数增加，波特率将保持不变，而信号速率将增加。然而，这将导致信号的传输距离显著缩短。比如200G 16QAM的常规传输距离可能只有600km。第三，频谱压缩技术，如超奈奎斯特技术(FTN)，是典型的。接收机采用复杂的解调算法来平衡ISI，或者采用多通道联合解调技术来提高信号的波特率，在固定的通道间隔内引入波长通道间的串扰。然后，接收机使用MIMO联合均衡来抑制信道间的干扰。最终效果如图6所示。信道间隔可以小于或等于波特率，以提高频谱效率。这需要复杂的解调算法和FEC纠错算法，可能会增加芯片的功耗，进而影响电源效率。

反正技术是无止境的，适合的就是最好的。合适的波特率，带宽和频谱效率刚刚好。不需要太复杂的技术，低功耗就能满足客户的容量需求。

参考资料:

[1]范·克雷布拉克、乔里斯等人& # 34；NRZ，Duobinary，还是PAM4？:在高速电气互连中进行选择。"IEEE微波杂志20.7 (2019): 24-35。

[2]豪特马、文森特、多拉·范·维恩和雷内·邦克。"单波长50G TDM-PON的选择。"IEEE 802。3ca，Sep，会议，houtsma 3ca 1 0917。2017.

[3]叶、以斯拉和约瑟夫·卡恩。"归零光信号的功率谱。"光波技术杂志24.3 (2006): 1610。

注:本文首发于我的微信微信官方账号:光通信充电宝。

作者:华仔

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