逆推小说男主是正太(逆推)

数学理论的大部分发现，其实都源于生活或者人们遇到过的一个难题。根据这个难题，有人提炼出了一个模型，人们得以在纯数学领域进行研究，最终诞生了许多伟大的成果。比如概率论，来源于赌徒提出的尖锐问题。

赌桌上诞生过许多数学很多数学都是在赌桌上诞生的。

一个赌客的赢概率为P，另一个赌客的赢概率为1-P，A和B在赌场赌博，A和B各自的赢概率为P，q = 1-P，两人约定如果A赢了，局数为x >；Np，那么A支付赌场X-np元；如果x < Np，那么B支付赌场np-X元。问赌场的期望是什么赚钱。

棣莫弗德莫维尔

这里的数学期望这个概念很重要，也没有那么难理解。举个例子，我们都知道抛硬币正面朝上的概率是1/2，那么如果每次抛硬币的时候，似乎都有一个约定好的规则“限制”了结果呢？如果我们再翻10次呢？也许五头五尾符合我们的预期。当然，其实也不可能这么巧。只是五头五尾。但是这个结果表达了我们对于这个概率事件的期望值，所以这里有五个正的数学期望。

棣莫弗公式不同的公式

赌徒问数学家德·莫维尔。这位数学家虽然不是很出名，但是名字有点猫腻。但你应该用过他的数学成果，复数和三角函数的桥梁——迪摩弗公式是这个人的代表作，他也是概率论的大师。现在我们很容易看出赌徒的问题是一个简单的二项分布，所以这里不再做二项分布的科普。简单来说，在一个概率事件中，只有两种结果，并且结果是互斥的。我们分析这两种情况的期望值。棣莫佛公式很快发现了二项式概率是:

赌徒问题答案赌徒问题的答案

其实如果真的要期望的话，那么n只能是一个有限的整数，虽然这个n可以变得很大。于是一个自然的问题出现了。如果我们实验无数次，这里的概率会是什么样子？棣莫佛公式再接再厉，并结合当代数学家斯特灵的成就，成功地算出了这个密度函数:

正态分布公式首次出现正态分布的公式第一次出现。

这个公式就是我们熟悉的标准正态分布公式。虽然郑泰公式在所有的中学数学课本中都有提及，在考试中也很流行，但这个公式的来源和意义却从未提及。也许有些老师会在课堂上向学生强调这种概率分布的重要性，但总是令人费解的是没有生动的案例来佐证。德·莫维尔得到的这个分布函数，也是正态分布第一次出现在人类的数学成果中。德·莫伊弗尔虽然第一个得到了密度分布函数，但并没有进一步研究。德·莫伊弗尔本质上并不是数学统计学家，他认为这只是一条漂亮的概率分布曲线。他不知道这种分布与错误分析有什么关系。

德国马克上的正态分布曲线德国马克的正态分布曲线

说到这，高斯的工作在哪里？别急，先听听高斯同志的另一首代表作。

从18、19世纪开始，在空之前，在人们数学工具的支持下，天文学得到了发展。尤其是牛顿万有引力定律确定后，人们第一次可以用数学精确地描述地球以外的世界。对于确定行星轨道来说尤其如此。

遥望星空看星星空

1772年，根据万有引力定律和当时的观测数据，人们认为在火星和木星的轨道之间可能存在一颗未被发现的行星。但当时的观测条件有限，无法直接观测到。所以我们需要间接计算，然后推测这个未知星球的可能位置，在那里等待它准时出现。这种寻找行星的想法看起来很自然，但实际上非常困难。

行星轨道计算难度极大行星轨道计算极其困难。

1801年元旦，西西里岛巴勒莫学院的天文学家Giuse ppePiazzi发现了谷神星，但这颗恒星的轨道不像之前的传统行星那样确定。人们不知道这颗新星是彗星还是行星，这就需要更精确的观测方法。然而，与火星相比，这颗恒星太小了，以至于如果它稍微靠近大恒星，就会立即湮灭，变得不可观测。当时的观测数据非常有限。皮亚齐对这颗恒星观察了24次，很难确定它的轨道。这是一个如此困难的问题，以至于当时许多天文学家都不知所措。于是，高斯开始了他的表演。

最大的一颗小行星——谷神星谷神星，最大的小行星

高斯得到了皮亚齐的观测数据，根据自己创造的一种新的数据分析方法，在一个小时内计算出了这颗恒星的轨道数据。当然，为了结果的可靠性，他还是等了好几个星期才检查。1801年12月31日，人们在高斯预言的时间和轨道上发现了这颗恒星。到目前为止，人们已经确定这颗新星既不是彗星，也不是传统意义上的行星。它是人类发现的第一颗也是最大的小行星，直径约950公里。

这一成果一出，年轻的高斯的能力再次让所有人惊叹。人们渴望知道高斯是如何处理这些数据的，但高斯本人拒绝透露。在他看来，这些还是一些不成熟的提示。虽然它们在实践中有很大的用处，但是做出不成熟的结论，就不值得站在自己的立场上，所以高斯的方法就被当成了秘技。八年后的1809年，高斯认为研究已经成熟，于是发表了他的方法，这就是最小二乘法。

最小二乘法的诞生时机是最小化测量数据的累积误差，有一套规则。

最小二乘法规则最小二乘法

这个规则是勒让德提出的，他在1805年第一个发表了关于最小二乘法的论文。

假设我们从未接触过数理统计的知识，现在给我们一个测量任务:让你测量一间教室的长、宽、高，尽量给出一个误差较小的结果。从经验来看，正统的做法是，我们应该在房间的不同位置测量多组数据，然后计算平均值。这样做比较安全，会过滤掉一些偶然错误导致的严重失真项。而且我们还会想出一个经验方法，就是实测数据越多，算术平均值越接近真实值。

高斯大神高斯

这种方法几乎是安全和显而易见的。历史上很多测量员都是这么做的，好像最后的实践表明这种方法可以有效减少系统误差。但是有一个很严重的问题，就是人们从来没有在数学理论上证明，求算术平均值可以显著降低测量误差。

高斯的目的是解决一种使系统累积误差最小的方法。既然算术平均在实践中被证明是有效的，我就从这里开始推导:

最大似然估计的定义最大似然估计的定义

这里的估计值叫做极大似然估计，高斯和蔼地认为这里的极大似然估计可以得到算术平均值！

根据上述公式的分析结果，可以计算出这个概率分布函数。我们都熟悉这种形式。

一般正态分布一般正态分布

正态分布的密度函数N(0，σ2)就是上面的表达式。那么上面说的最小二乘法和正态分布有什么关系呢？

正态分布和最小二乘法的深刻关系正态分布与最小二乘法的深刻联系

这里很明显，如果这个概率最大化，所有的误差项e2应该最小化，这就是最小二乘法的定义。所以正态分布和最小二乘法的关系真的不一般！

由于高斯的杰出工作，正态分布也被称为高斯分布。基于高斯正态分布的最小二乘法大大拓宽了正态分布的应用。这种密度函数远远优于整个数理统计领域中的任何其他分布。其实正态分布也是最广泛的分布，甚至是其中的一种！

无时无刻不在的正态分布一直都是正态分布。

人群的身高分布，总是处于中等身高的人数最多，或高或矮的都是极小一部分人。学生的考试成绩分布、身高、红细胞数、血红蛋白量、医学中实验的随机误差呈正态或接近正态分布；

事实上，很多人从不同的领域推导出了相同的正态分布密度函数。除了德·莫维尔和高斯，1850年的赫歇尔和1860年的麦克斯韦都是基于旋转对称的误差推导出密度函数的。他们的方法根本没有用到任何概率论的知识，只是根据空之间的不变性得出的。1941年，电气工程师兰登也基于稳定噪声分布的思想给出了正态分布密度函数。信息论的创始人香农也根据最大熵原理推导出了正态分布函数。

信息论创始人——香农信息论的创始人香农

这些领域基本上是不相关的，甚至有些人用的方法也和概率论无关，但最后得到的结论完全一致。这也充分说明了正态分布是一种普遍存在且极其普遍的分布模式。难怪有人惊呼:

神说，有正态分布就有正态分布。

看到正态分布好，就让随机误差服从正态分布。

毫无疑问，高斯被视为“数学王子”。他名下的定理和定律不计其数，但如果要排最有影响力的，很多人认为正态分布是首选。这种分布成为许多统计方法的理论基础，人们在数据检测、线性回归、方差判断、回归分析中，都无法避免正态分布的影子。它就像分析科学中的微积分一样，给出了相关领域一切成就的源泉。