微积分是什么(微积分的四大作用)

微积分到底是什么？

(开篇段落太冒犯了，我删了。)

微积分到底是什么？这是一个长期得不到解决和被忽视的问题。另一方面是一个不断被人误解，长期无法正确回答的问题。有人会说，我们的数学已经发展到这么先进的水平了。你怎么能说这样的话？你怎么能说我们还分不清楚微积分是什么？在这里，我要明确的告诉你，这是事实。

我们一直不清楚数字是什么，微积分是建立在数字基础上的。那么我们分不清微积分是什么也就不足为奇了。当然有人会说，你怎么知道我们分不清数字是什么？不好意思，我得跟你说实话，就是谁也说不准。不要试图在集合论，实分析，或者德德金的除法里找。不要在任何你看不懂的，涉及高等数学理论的专著或论文里找。那些理论著作或论文都没有告诉过我们数字是什么(如果有，百度会收录这样的词条)。如果你认为数字是什么的问题本身并不是一个简单的问题，需要用一系列更高级的问题来解释。很抱歉，我告诉你，他们不是指数字。

数字是古人发明的。如果我连今天都不能理解，那我就不能相信古人在发明系统语言之前，是根据我们今天无法理解的理论发明数字的。这不符合逻辑，更不符合历史。数论怎么能以数学为基础？显然，数学是以数字为基础的。怎么能说数字要以数学为基础，而且是高等数学？

说了这么多作为铺垫，现在我可以正式回答这个问题了。我们有两种数，一种是算术中的数，就像我们的小学课本，一个苹果加两个苹果等于三个苹果。另一种数是分析中的数。是我们到了中学以后才开始使用数轴的数字。这里必须明确，苹果代表的数和数轴代表的数是两种数。因此，基于这一点，我们必须在两个层次上定义什么数字的问题:

1.算术中的数字是与被计数的自然事物的尺度“等价”的符号。小学课本上画了三个苹果。中间苹果正下方标记的符号“3”是算术中的数字。在这里，书中画的三个苹果都是“三者合在一起形成的任何自然事物的尺度”的等价物，“3”就是这个等价物的符号。所以“3”这个符号不仅可以表示三个苹果，还可以表示三个孩子或者三个猎物。

2.简单地说，分析中的数，就是人为规定的“单位元素”所构成的“计划事物”的尺度的“当量”的符号。数轴上的单位线段就是这样一个单位元素，单位线段形成的直线对应着计划的事物的尺度。此外，在分析中，数字是与数轴上被计数事物的尺寸一一对应的单位线段尺寸的边界的符号。形式上，数是数轴上单位线段间虚边界的符号。然后你会看到数轴上的“3”标注在第三条和第四条线段的边界处，而不是像算术中那样直接标注在三条线段中间的正下方(即第二条线段的中间)。

微积分的问题只出现在分析中的数字上，算术中的数字与微积分无关。但是，我们所有关于微积分的理论都是在混淆这两个数字的前提下做出的。有时候我们把数字分析成算术中的数字(比如点的运动)，有时候我们试图通过这种算术分析得到数字在分析中的结果。所以微积分作为一门数学应用技术，它的理论基础是不稳定的，总是有矛盾(主要集中在无穷上)，这是我们说不清楚微积分是什么的重要原因。然而，这并不影响我们在这脆弱的数学基础上建造一座高耸的数学大厦的能力。当然，这也离不开历代数学家为此设计的一系列巧妙的支撑结构和眼花缭乱的加固措施。其实高等数学的“高”恰恰体现在这里。脆弱的地基，高耸的建筑，复杂的技术措施，后者是为前一对矛盾付出的“代价”。

算术中的数和分析中的数的本质区别在于算术中的数的单位是固定的(自然数的单位永远是1)。但分析中数的单位是不确定的，具体数由函数定律决定。算术中的数和分析中的数都有单位。因此，我们可以说函数是分析中最常见的数字。

在我们的数学中，函数有很多种。这里我们只考虑其中的两种:一种是线性函数(线性函数)，一种是曲线函数(二次函数)。直线函数可以理解为有固定单位的函数，也就是说，它的函数方法是由一个常数指定的。曲线可以理解为单位随着自变量的变化而变化的函数。当一个二次函数的系数为1时，我们可以理解为它的函数规律是由自变量决定的，即这个函数的单位就是这个函数的自变量。

第一个函数和第二个函数是两个不同的数。基于自然数是数学中最基本的数，也可以说自然数是特殊的线性函数，数学的最终目的是用线性函数的实数“值”来表示客观事物的尺度。但是，在自然界中，有些事物的标度的值并不是按照一个线性函数的顺序排列的，比如自由落体的速度，液体深度增加引起的压力变化的值等等。

哦，我想在这里说一件更离奇的事情:根据我的研究，人类的大脑(至少包括陆地上的哺乳动物)对时间量的认知是按照二次函数的顺序排列的，而我们却用第一个函数来衡量时间，也就是说，我们一直生活在时间曲线的切点上。日常生活中的“时间点”概念，对我们来说就是时间的微分。而这也可以作为解释为什么我们只能活在当下，不能回到过去，更不能回到未来的理由。空大致相同。这些也可能解释了为什么经典物理的主要公式中总是出现时间与空的平方之类的问题。

好了，明确了这一点，我们就可以指出这个问题的答案了:微积分到底是什么？答案是:为了满足人们总想用一次函数(线性函数)的值来表示曲线函数(二次函数)的值的合理趋势，历代数学家发明的一种数学技巧。

有这么简单吗？是的，就这么简单。其实人类的发明使用了很多这样的技术，只是我们不知道原理。比如我们锄地的时候，不知道加速度和能量有关系，不知道涉及所谓的杠杆原理。

微积分作为一门实用技术，当然可以用常识的例子来解释。例如，如果我们希望一个物体沿着力的反方向运动，我们可以设置一个天车来实现这个目标。牛顿-莱布尼茨微积分等价于这样一个冠块函数，使我们有可能实现“用一次函数的值表示二次函数的值”的意图。但是牛顿-莱布尼茨微积分和天车一样，可以改变力的方向，但是不省力，也就是说不完美。柯西-维尔斯特拉斯微积分相当于在这种技术的基础上增加了一个移动滑轮，使物体不仅沿着力的反方向运动，而且达到省力的效果。现实是牛顿-莱布尼茨的微积分永远不会达到极限，而柯西-威尔斯特拉斯的微积分会随着极限的增加而增加，当达到极限时，精度也会达到极限。所以严格来说,“δ-ω”所表达的意思只是技术规范上的改进。以锄地为例，教你锄地的农民会说话，就是语言表达水平提高了。他现在说的话可以让你很快明白如何锄地更省力，取得更好的效果。举一个更现实的例子，蓝翔的教师教学水平更高。但是锄头的工作原理要物理老师讲解，因为涉及到势能、加速度、杠杆原理、压力等一系列物理知识。农民不会告诉你这些理论。你不能从你的数学老师那里得到微积分到底是什么的答案。这样的回答应该是我这样的民间数学哲学家来回答。这样的回答，不管对不对，毕竟是专业人做的专业事。你什么意思？这意味着你可以从你的数学老师那里学习如何做微积分，但是微积分到底是什么？你得向我学习。

说到数字是什么的问题，总会有人有看法。我去看看这个看看那个，会有人发表意见的。我去维基上看看“自然号”条目。你可以参考这本书---《真正数学的入门》。但是没有人指出我说的不对。从来没有人从文献上贴出一个字，哪怕是百度，告诉我什么是数字。如果真的有人插一句话。我能想象得到。我想象回到一万年前美索不达米亚人的祖先那里，问他们是否能理解。从文字的历史考证来看，我们现在使用的数字最早记录在楔形文字的泥板上。也就是说，数字是美索不达米亚的祖先发明的。我问他们，你们能根据这些理论创造出现代人还在用的数字吗？

数字是多少？这个问题没那么复杂。前面说过，数学之所以先进，并不是它的建筑有多高，而是这座高楼建立在脆弱的基础上。体现在为解决这一矛盾而采取的复杂技术措施上。现在，我们从相反的方向思考，如果我们深入到数学的基础。找出地基的漏洞，补上。如果我们现在的数学大厦是建立在坚实的基础上，那么我们是否可以去掉这些繁杂的支撑，让数学回归其简单的本质，让所谓的高等数学也能被小学生理解？我相信这样的目标是可以实现的。

一个大学生告诉我，教授在做数学导论的时候，第一句话就是“把过去学过的数学都忘掉”。我跟他说，你知道教授这句话是什么意思吗？小学学的算术是技能，中学学的数学都是理论。等到了大学，你又得跟我说你的本事了，你就开始接受“无限接近……”的故事了。如果你还抱着中学学数学时那种严谨的态度，你就无法理解:“怎么可能无限逼近，无限逼近，最后到达？”“如果你聪明，你很快就会意识到，”不！这不是数学。“当然，老师比你聪明得多。他要提前屏蔽你的想法，所以才有了这句话:“把过去学过的数学都忘掉”。你明白吗？你明白这里的深层含义吗？老师只要求你忘记过去学过的所有数学，但不会告诉你为什么这么做。看了我上面说的，希望你能有点明白老师为什么这么说了。我在回答中，说了老师应该说但不会说的话。他不会的。

在数学发展的历史长河中，所谓的函数(包括第一函数和第二函数)被无数科学家全方位、不同深度地探索过。这些探索形成的知识，尤其是涉及的内容，远远超过你和你的老师所知道的知识的总和。我们需要更广泛的知识。不要以为我们已经知道的东西就那么重要，尤其是在我们探索“函数到底是什么”这个问题的时候，我们知道的是如此之少，以至于连前人都没有在这方面给我们明确的指示。

另外我在这里要强调一点，我说的和现在的数学理论没有任何关系，本质上也可以说对数学完全没有伤害。这也是我的初衷。如果对你来说听起来很别扭，那只是你没听过而已。不能因为没听说过，就觉得不对。而且如果你相信我说的话，对你理解数学的基础会有帮助。当然，并不是每个人都有这样的兴趣。

说了这么多，不知道你能不能正确理解，但不管怎么说，只要你能看到我不是反对数学，就够了。