麦克斯韦方程组(麦克斯韦每个方程的物理意义)

宇宙间任何的电磁现象，宇宙中的任何电磁现象，

可以用这个方程组来解释。

——摘自《人类最美的54个公式》

实验室里一片寂静。

赫兹正全神贯注地盯着两个相对的铜球，下一秒他就合上了电路开关。

突然，电的魔力开始在这个简单的系统中显现。看不见的电流通过装置里的感应线圈，开始给发电机的铜球电容充电。砰的一声，赫兹的心好像提到了嗓子眼。发生器上已经产生火花放电，接收器会同时产生漂亮的火花吗？

赫兹的手心已经在冒汗了。真的有看不见摸不着的神秘电磁波吗？

历史性的时刻终于到来了-

瞬间，一个微弱的火花在接收器的两个球之间跳跃！

赫兹兴奋地跳了起来。是的，他赢了！麦克斯韦的理论也赢了！空房间里确实存在电磁波，激发接收器上电火花的就是它。

远处的重力。

很久以前，人类就发现了静电和静磁现象，但在漫长的历史中，这两样东西并不互相干扰。

因为摩擦电，在古希腊和地中海文化中，早就写着用猫毛摩擦琥珀棒会吸引羽毛之类的东西。“电”的英语词源来自希腊语“琥珀”。

关于磁性，中国是最早知道磁性现象的国家之一。公元前4世纪左右成书的《管子》中有:“上有善石，下有铜金。”这是最早的磁学记录。其他古籍如《山海经》、《吕氏春秋》也能找到一些磁铁吸铁的记载。

电和磁之间一些相似定律的发现，可以追溯到物理学家库仑的小小野心。1785年，作为牛顿的忠实追随者，库仑正在努力变得比牛顿本人“更牛顿”，把万有引力的套路应用到静电学上。就像行星之间的引力一样，两个带电球之间的力也遵循平方反比定律吗？为此，他精心设计了一个扭秤实验，如图9-1所示。平衡木上挂着一个平衡球B和一个带电球A，旁边还有一个同样大小的带电球C。

球A和球C之间的静电力会扭曲吊线，旋转吊线上端的吊钮，然后使球回到原来的位置。在这个过程中，通过记录扭转角和平衡梁长度的变化，可以计算出带电体A和C之间的静电力。

图9-1库仑扭秤实验

结果如库仑所料，静电力与电荷成正比，与距离的平方成反比。这个定律后来被总结为“库仑定律”。既然库仑定律和万有引力有如此惊人的相似，那么在磁性世界是否也存在同样的情况呢？随后，库仑对磁极进行了类似的实验，再次证明同样的定律也适用于磁极之间的相互作用。这就是经典磁学理论。

库仑发现磁力和电力一样服从平方反比定律，但没有进一步推测它们之间的内在联系。他和当时大多数数学物理学家一样，认为物理学中的“能、热、电、光、磁”乃至化学中的所有力都可以像万有引力一样描述远处的力，力的强弱取决于距离。只要我们努力多发现几个力学定律，整个物理理论就完整了！

库仑天真的想法很快被打了脸，距离的引力效应显然没有那么强，但是库仑定律的提出为整个电磁学奠定了基础。

电和磁使一切都好。

是丹麦物理学家奥斯特首先发现了电和磁之间的联系。

1820年，奥斯特是哥本哈根大学一位迷人的教授。他从不照本宣科，凡事只注重实践，实践是检验真理的唯一标准。所以他经常上课二话不说就带学生做实验，很少有学生翘过课。有一天，他在实验中偶然发现了电流的磁效应:当电流通过导线时，下面的小磁针发生偏转。

这一惊人的发现首次将电和磁结合在一起。此后电磁学蓬勃发展，有眼力的年轻人纷纷转向它进行深入研究，包括数学神童——安培。

当安培得知奥斯特发现了电和磁的关系后，他立即放弃了他那小有成就的数学研究，进入了物理领域。他凭着野兽般敏锐的直觉，提出了众所周知的右手螺旋法则，用来判断磁场方向。如图9-2所示，拇指方向为电流方向，四指缠绕方向为磁场方向。

图9-2安培右手螺旋法则

安培在实验中发现，不仅通电导线对磁针有作用，两条平行通电导线也有作用。同方向的电流相互吸引，反方向的电流相互排斥。

数学家世家，在通往物理的康庄大道上，安培没有忘记自己的根。相反，他利用以前工作的优势，真正以数学方式研究电磁学。1826年，他直接推导出著名的安培环路定理，用于计算任意几何形状的通电导线产生的磁场。这个定理后来成为麦克斯韦方程组的基本方程之一。

安培也因此成为电磁学史上不可或缺的人物，被麦克斯韦誉为“电学中的牛顿”。

法拉第:

麦克斯韦背后的人

1860年，麦克斯韦遇到了他一生中最重要的人:法拉第。

法拉迪唤醒了麦克斯韦方程组中除安培环路定理之外的另一个基本方程，是麦克斯韦走向电磁学巅峰的幕后功臣。

法拉第家境贫寒，童年在曼彻斯特广场和查理街度过。年轻时，他在一家书店做装订工。带着一股孤僻的科学欲望，他自告奋勇成为英国皇家学院的“电解狂热者”大卫的助手，从此与电磁学结下不解之缘。

1831年，法拉第发现了磁和电的关系。只要通过闭合回路的磁通发生变化，就会在闭合回路中产生感应电流，如图9-3所示。这种利用磁场产生电流的现象称为电磁感应，产生的电流称为感应电流。

图9-3电磁感应实验

但这些观察只是零碎的证据。电流的本质是什么？当没有直接接触时，线圈如何作用于磁铁？移动的磁铁是如何产生电流的？当时，没有人能真正系统或全面地了解它们。

大多数人都沉迷于用超距力的理论来解释电和磁的现象。另一方面，法拉第播下了独特的思想火种。他用自己的眼睛看到了力线穿过整个空，如图9-4所示。这是否承认了距离作用的存在。他还设想在磁铁周围有一种神秘的、看不见的“电张力”，我们今天称之为“磁场”。他断定电张力的变化是电磁现象的原因，甚至推测光本身就是电磁波。

图9-4法拉第力线示意图

然而，将这些想法构建成一个完整的理论超出了他的数学能力。他只在小学学了两年法拉第，数学水平还停留在只懂一些代数和三角函数。或许，一个不懂数学，一个精通数学，是法拉第和麦克斯韦一见钟情的伏笔。

法拉第发现电磁感应的那一年正好是麦克斯韦诞生的那一年。

年龄相差40岁，但麦克斯韦在读法拉第的《电的实验研究》时，很容易被法拉第的魅力所吸引。有了扎实的数学基础，他决定用数学定量表达法拉第的电磁理论。

1855年，麦克斯韦发表了他的第一篇电磁学论文《论法拉第的力线》。他通过数学方法，将电流周围磁力线的特性概括为矢量微分方程，并推导出法拉第的结论。这一年，法拉第退休了，看到论文喜出望外，马上去找这个年轻人，可是麦克斯韦却像黄鹤一样，不见踪影。

直到5年后，孤独的法拉第终于在1860年等到了麦克斯韦。看着面前这个不善言辞但很诚实的年轻人，法拉第面露喜色，他认真地嘱咐道:“你不应该停止用数学来解释我的观点，但你应该突破它！”麦克斯韦听了这些话，虽然表面平静，但内心却汹涌澎湃，他开始全力进攻电磁学。

1862年，麦克斯韦发表了他的第二篇电磁学论文《论物理力线》，这不再是简单的法拉第理论的数学翻译。这一次，他首创了“位移电流”的概念，预见了电磁波的存在。两年后，他发表了第三篇论文《电磁场动力学理论》。在这篇论文中，他实现了法拉第晚年的愿望，验证了光也是电磁波。

最后，麦克斯韦在1873年出版了他的专著《电磁学通论》。

这是电磁学史上划时代的里程碑。在这本书中，麦克斯韦总结了前人的定律，用他独特的数学语言建立了电磁学的微分方程，揭示了电荷、电流、电场、磁场之间的普遍联系。这个电磁方程就是后来以他的名字命名的麦克斯韦方程。

世界上最伟大的公式

麦克斯韦方程组

花开两朵，每桌一朵。电磁蓝火花转化的四个完美公式，有积分和微分两种绽放形式。

以积分为对象，我们来解读一下麦克斯韦方程组这种专属数学语言背后的含义。

(1)高斯电场定律:

第一个公式

是高斯定律在静电场的表达式，其中S是曲面积分的运算面，E是电场，ds是闭合曲面上的微分面积。

是真实的空介电常数(绝对介电常数)，q是曲面包含的总电荷。意味着通过封闭表面的电通量与封闭表面所封闭的电荷量Q成正比，系数为

。

在静电场中，由于自然界中独立电荷的存在，电场线有起点和终点，起点为正电荷，终点为负电荷，如图9-5所示。只要在封闭表面上有净剩余电荷，通过封闭表面的电通量就不等于零。通过计算通过给定闭合曲面的电场线的数量，即其电通量，就可以知道闭合曲面所包含的总电荷。

图9-5静电场电荷

高斯定理反映了静电场是活动场的特点，即描述了电场的性质。

(2)磁场的高斯定律:

第二个公式

是高斯磁力定律的表达。其中，S和ds的物理意义同上，B为磁场，表示磁场B在封闭面上的磁通量等于0，磁场中没有类似电荷的磁荷。

在磁场中，由于自然界没有磁单极子，N极和S极不能分开，磁感应线是无头无尾的闭合线，如图9-6所示，所以通过任何闭合面的磁通量必然等于零，即磁场是无源场。

图9-6磁场和磁感应线

这个定律类似于高斯的电场定律。它陈述了磁单极子不存在，并描述了磁场的性质。

(3)法拉第定律:

第三个公式

是法拉第电磁感应定律的表述。这个定律原本是一个基于观察的实验定律，通俗地说就是“磁发电”。它把电动势和通过电路的磁通量联系起来，如图9-7所示。

图9-7电磁感应

在这个公式中，l是路径积分的运算路径，e是电场，dl是闭合曲线上的微分。

表示穿过由闭合路径L包围的曲面S的磁通量(计算为公式2的左侧)，

代表磁通量对时间的导数。

表示电场E在闭合曲线上的环流，等于磁场B在曲线围成的曲面S上的通量变化率，即闭合线圈中的感应电动势与通过线圈内部的磁通量变化率成正比，系数为-1。

这个定律反映了磁场是如何产生电场的，也就是描述了变化的磁场激发电场的规律。根据这个定律，当磁场随时间变化时，可以在磁场周围感应出一个电场。

(4)麦克斯韦-安培定律:

第四个公式

麦克斯韦安培环路定理是全电流定律。

其中左边的L、B、dl的物理意义同上，是路径积分的运算路径，是磁场，是闭曲线上的微分。右边/右手边

是磁常数，ι是通过闭合路径L包围的曲面的总电流，

是绝对介电常数，

是通过由闭合路径L包围的曲面的电通量(计算为公式1的左侧)，

表示电通量对时间t的导数，即变化率。

意思是闭合曲线上磁场B的环流等于曲线包围的曲面S中的电流ι(系数为磁常数)加上曲线包围的曲面S上电场E的通量变化率(系数为

)。

原安培环路定律是一系列电磁定律，概括了电流在电磁场中的运动规律，如图9-8所示。安培定律说明电流可以激发磁场，但只用于稳定的磁场。

图9-8安培环路定理

因此，麦克斯韦推广了安培环路定理，提出了“位移电流”假说，得到了一般形式的安培环路定理，揭示了磁场可以由变化电场的传导电流或位移电流激发。

传导电流和位移电流的组合称为全电流，这就是麦克斯韦-安培定律。

这个定律反映了电场是如何产生磁场的，也就是描述了变化的电场激发磁场的规律。这个定律与法拉第电磁感应定律相反:当电场随时间变化时，会在电场周围感应出一个磁场。

总之，这套积分方程组由四个公式组成，其中两个关于电场，两个关于磁场，共同反映了空之间某一区域内电磁场量(e，b)与场源(电荷Q，电流I)的关系。

从数学上讲，积分和微分是逆运算。

因此，如果对这组积分方程进行变换，可以得到下面这组微分方程。两个方程的数学形式不同，但物理意义是等价的、一致的。在实际应用中，微分形式会更频繁地出现。

它们表明电场和磁场并不是相互隔离的。改变磁场可以激发涡流电场，改变电场可以激发涡流磁场。它们总是紧密相连，相互激发，形成统一的电磁场整体。

这是麦克斯韦方程组的基本概念，也是电磁学的核心思想。

英国科学杂志《物理世界》曾让读者投票选出“最伟大的公式”。在最终上榜的十个公式中，有著名的E=mc2、复杂的傅里叶变换、简洁的欧拉公式...但麦克斯韦方程组排名第一，成为“世界上最伟大的公式”。

或许，不是每个人都能理解这个公式，但能理解这些公式的人，一定会感到背后有一股凉风。虽然大自然有自己的感应，但是怎么会有人解释这么完美的方程呢？

这套公式综合了电的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律、安培定律，完美地揭示了电场和磁场相互转化中产生的美丽对称性，统一了整个电磁场。一个谦虚的评价是:“一般来说，宇宙中的任何电磁现象都可以用这个方程组来解释。”

光和电磁统一了江湖

与后世的名声相反，麦克斯韦方程组刚出现的时候，几乎没有人对它感兴趣。

麦克斯韦预言了电磁波的存在，并从方程组推导出光是电磁波。这些想法很震撼，但当时大多数人并不买账。人们对这个未经实验验证的理论深表怀疑。世界上只有少数科学家愿意接受和支持这个理论，赫兹就是其中之一。

他是研究和验证麦克斯韦观点的第一人。虽然从未见过麦克斯韦，但他对前人的理论深信不疑，从1886年开始，他就孜孜不倦地致力于寻找电磁波的研究。

赫兹的实验装置极其简单，主要由他设计的电磁波发射机和探测器组成，但这拉开了无线电应用的序幕，成为后来无线电发射机和接收机的开端。如图9-9所示，两块锌板相互靠近，每块锌板都连接到一根铜棒上，铜棒的末端有一个铜球。两根铜条连接到高压感应线圈的两个电极上，高压感应线圈就是电磁波发生器。距离发电机10米处有一个电磁波探测器，是一根铜棒弯成一圈，两端有铜球。两个铜球之间的距离可以通过螺丝调节。

图9-9 Hz实验示意图

如果麦克斯韦是对的，那么当电源开关打开时，发射机的两个铜球之间会闪现出耀眼的火花，产生振荡电场，同时会触发向外传播的电磁波，电磁波会通过空飞向接收机，在接收机处会感应出振荡电动势，在接收机开口处也会触发电火花。

在实验室里，赫兹把门窗关得严严实实，防止一缕光线射进来。他又一次紧张地调整探测器的螺丝，让两个铜球越来越近。突然，两个铜球空之间的缝隙也跳跃着微弱的火花，一次，两次，三次，他的眼睛没有看错。这就是电磁波！两年来，赫兹经过上千次的探索，终于用实验成功证明了电磁波的存在。从那以后，没有人怀疑麦克斯韦的理论。

比这更令人欣慰的是，1888年初春，赫兹通过其他实验证明了光是一种电磁现象，可见光只是一种电磁波。

在麦克斯韦的时代，不可见光是完全未知的。赫兹的开创性研究带来无线电波后，不可见光在后世发挥了巨大的威力，演变成现代科技的源泉。正如赫兹感慨地说，“麦克斯韦方程组远比它的发现者聪明。”

从人类的角度来看，这组方程组最大的贡献是清楚地解释了电磁波是如何在空之间传播的。

根据法拉第感应定律，变化的磁场会产生电场；根据麦克斯韦-安培定律，变化的电场又变成了磁场。正是这种不断的循环使得电磁波能够自我传播，如图9-10所示。

图9-10电磁波

但这种对物质世界的新描绘打破了当时的固有思维，引起轩然大波。

光的本质是什么？粒子还是波？在这个问题上，人类已经争论了几个世纪。第一次波粒战争发生在17世纪。牛顿以“光的色散实验”取虎克平台的波动理论。当时虎克年纪大了，经不起反复折腾。因此，波动理论就这样被牛顿搁置了100多年。

直到托马斯·杨双缝干涉实验的出现，第二次波粒战争的号角才吹响。波浪理论终于找到了反击的机会。尤其是在麦克斯韦预言“光是一种波”并且这一预言被赫兹的实验证实之后，波动理论更是轰轰烈烈，使得粒子理论彻底灰飞烟灭。

当时麦克斯韦提出:电可以变成磁，磁可以变成电。这种电和磁的相互转化和振荡不就是一种波吗？电磁场的振荡是周期性存在的。这种振荡称为电磁波，一旦发出，就会通过空向外传播。但更神奇的是，当他用该方程计算电磁波的传播速度时，结果接近30万公里/秒，刚好与光的传播速度相同。这显然不仅仅是巧合。

电磁扰动是光，本质上只是电场和磁场的扰动。

有了麦克斯韦睿智的洞察力和后来赫兹无可辩驳的验证，人类成功地在认识光的本质上迈出了一大步。据说波动也开始扩大地盘了，太阳光只是电磁波的可见辐射形式。不限于普通光，我们可以进军不可见光，从无线电波到微波，从红外线到紫外线，从X射线到Y射线...按照波长或频率的顺序排列这些电磁波就形成了电磁波谱。

然后，无线电波用于通讯，微波用于微波炉，红外线用于遥控，紫外线用于医疗消毒...这些不同形式的“光”逐渐形成了现代科学技术的基础。因此，如果没有麦克斯韦，无线电、电视、雷达、计算机和其他与电磁波有关的东西都将不复存在。

麦克斯韦在统一了光和电磁，完成了科学史上第二次大合成之后，于1879年逝世。也是在这一年，一个婴儿出生了。这个婴儿被命名为爱因斯坦。

52年后，这个长大成人的婴儿在麦克斯韦诞辰百年大会上称赞麦克斯韦是物理学中“自牛顿以来最深刻、最富有成果的变革”。他的一生，麦克斯韦方程组被视为科学美的典范，他试图用同样的方式统一引力场，把宏观力和微观力放在同一个公式里。

后来，这个信念深深影响了整个物理学界。在“统一理论”的道路上，物理学家们一直在探索科学的终极。

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黑暗从此消失。

如果说17世纪是牛顿力学史，那么19世纪就是麦克斯韦电磁学史。

17世纪，牛顿定律诞生了基于现代机械原理的蒸汽机，机器第一次取代了人类的动力，人类进入了“蒸汽时代”。

然后在19世纪，麦克斯韦方程启发了爱迪生和其他发明家。电第一次取代了蒸汽，人类进入了“电动时代”。

相对于自然规律消失在黑暗中，万有引力使世间万物变得光明，而麦克斯韦方程组突破了自然规律，使黑暗消失。

1888年，只有手指大小的赫兹实验微弱的火花，使光和电、电和磁在电磁力的统一控制下，人类文明以几何级数飞速前进。

然而，比赫兹预想的更神奇的是，在他去世后的第7年，1901年，电火花通过无线电报跨越了大西洋，实现了全世界的实时通讯，整个人类进入了一个全新的“信息时代”。