转置行列式与原行列式的关系(转置行列式的性质)

对换

为了研究n阶行列式的性质，我们先讨论一下排列及其与排列奇偶性的关系。

在该排列中，任意两个元素被切换，其余元素不移动。这种重新排列的过程叫做交换，两个相邻元素的交换叫做相邻交换。

定理1一个排列中任意两个元素互换，排列改变了宇称。

相邻交换证书的情况。

设置为，交换为，成为。显然，交换后这些要素的逆序数不变，但两个要素的逆序数变为:此时，交换后的逆序数增加而逆序数不变；当时换货后的倒订单号不变，但倒订单号减少了。所以排列的奇偶性不同于排列的奇偶性。

重新证明一般的交换情况。

将排列设置为，进行下一次相邻交换，调整它，然后进行下一次相邻交换，调整它。简而言之，下一次相邻交换后，排列调整为排列，所以这两种排列的奇偶性是相反的。

如列12345，变成14325。2和3交换一次变成13245；4和2交换一次变成13425；4和3交换一次变成14325。共交换3次，逆序号由0变为3，平价交换。

推断奇数排列到标准排列的交换次数是奇数，偶数排列到标准排列的交换次数是偶数。

由证明定理可知的排列数是排列奇偶性的变化数，而标准排列是偶数排列(逆序数为0)，故已知推论成立。证书。

利用定理，我们来讨论行列式定义的另一种表示。

对于行列式的任何一项

,

其中是自然排列，是排列的逆序数，元素相互交换。

,

此时该项的值不变，行标签排列和列标签排列同时交换。如果新行标签排列的逆序数为，则为奇数(由定理1可知)；设新列标签排列的逆序号为，则(奇偶交换)。因此，有，所以

这说明，如果乘积中两个元素的顺序颠倒，使得行标排列和列标排列同时对应颠倒，则行标排列和列标排列的颠倒顺序数之和不改变奇偶性。一次互换后如此，多次互换后依然如此。于是，几次交流之后。品牌:

列排列(逆序号为)变成自然排列(逆序号为0)；

行排列相应地从自然排列变为新的排列。假设这样排列，它的逆序数是，那么就有

,

同样，如果，那么(即)，可见排列是由该排列唯一确定的。

定理2 n阶行列式也可以定义为，其中是行标签的逆序数。

根据伴随式行列式的定义，

记住。

根据上面的讨论可知，对应并等于它的项总有且只有一个；相反，对于中的任何一个项，总有且只有中的一个项对应且等于它，所以它可以对应且等于中的项，从而。

矩阵和转置矩阵之间的关系对应于行列式和之间的关系。

行列式的性质

纪念

行列式称为行列式的转置行列式。

性质1的行列式等于它的转置行列式。

综合征的转座决定簇

也就是说，根据定义

。

根据定理2，有

，因此。

从性质上可以看出，行列式中的行和列具有相同的地位，行列式的性质对行和列成立，反之亦然。

2行列式的两行(列)在性质上互换，行列式的符号发生变化。

证明行列式

是通过交换两行行列式得到的，也就是当时，；那时，那么

其中是自然排列，排列的逆序数。因此，让排列的逆序成为。

。铋

来表示行列式的行，来表示列。交换两行作为，交换

创建两个条目。

如果推理行列式的两行(列)相同，则行列式为零。

交换这两条线，有，因此。

3性质行列式的某一行(列)中的所有元素都乘以同一个数，等于行列式乘以数。

行(或列)乘以并记录为(或)。

推理行列式中一行(列)中所有元素的公因子可以在行列式符号之外提及。

行(或列)提出公因子，记为(或)。

4如果性质行列式中有两行(列)元素成比例，那么这个行列式为零。

5性质行列式某一列(行)中的元素是两个数之和，例如第一列中的元素是两个数之和:

等于以下两个行列式之和:

6性质将行列式某一列(行)中的元素乘以相同的数，然后与另一列(行)中相应的元素相加。行列式保持不变。例如，将数字乘以第一列并将其添加到第一列(注意)，有

(数字乘以第一行，加到第一行)。