应力应变公式(正应力产生什么应变)

注:本文转载于微信官方账号中的“力学吧”，该微信官方账号此前已推送过《计算应力应变曲线脚本idealdeform.sh用户指南》。

应力和应变是固体力学中的一对重要概念。他们在力学中的地位就像小说中的男女主角。固体力学全剧以他们的经历为线索展开各种剧情。

在材料力学中，应力和应变分别定义为单位面积的内力和单位长度的变化(应变仅以线应变为例)来衡量构件所能承受的内力和变形能力，用公式表示如下

有些同学看到压力的定义经常会有一个疑问:压力和压力是一回事吗？首先，应力和压力是同一个单位，都是牛顿每平方米(n/m2)；然而，它们反映了不同的力学概念。压力是外力在物体表面的平均分布，应力是内力在物体假想截面的平均分布。

比如，大气压力是指大气重力对物体表面施加的压力，大气相对于物体是外界，所以大气压力是外力；另一方面，压力通过想象一个物体内部的横截面，将该物体分成两部分。应力是这两部分之间相互作用力在假想截面上的平均分布。因为这两部分属于同一个物体，所以是内力。其次，压力总是垂直于物体表面，但应力不一定垂直于横截面。横截面两部分之间的应力沿垂直和平行于横截面的方向分解。垂直于横截面的分量称为正应力，而平行于横截面的分量称为剪应力。

应力和应变在表征材料的强度和变形能力方面非常实用。

假设有A、B两种材料，A材料制成直径20mm的圆棒试样，B材料制成直径10 mm的圆棒试样，A材料在50kN的拉力下断裂，B材料在45kN的拉力下断裂。但是不能说材料A的承载能力比材料B高，但是可以得出最大应力。

可见，材料B比材料A有更高的承载能力（3倍还多），只是因为试样B截面积较小才在较小的拉力下断裂，因此用“单位面积上的内力”就消除了试样截面尺寸的影响，得到材料的本身属性。可以看出，材料B的承载能力比材料A高(3倍以上)，只是因为样品B的截面积小，所以在很小的拉力下就断裂了。因此，可以用“单位面积内力”来消除试样横截面尺寸的影响，从而得到材料本身的性质。

在变形方面也是如此。假设材料A和B具有相同的横截面(直径10毫米)，但样品长度不同。材料A长200毫米，材料B长250毫米。假设两种材料在45kN下的延伸率都是0.2mm，我们不能说材料B和材料a有相同的变形，根据应变的定义，有

在同样的伸长率下，只是因为A料的样品短，所以和b料的变形一样，实际上A料的变形更大。结合上一个问题，在这个条件下，材料B已经断裂，所以材料A的变形能力高于材料B，可以看出，用“单位长度变形量”来比较材料的变形能力时，应变消除了试样长度的影响。

万能试验机(来自网络)

材料的强度和变形一般用万能试验机测量(如上图)。标准试件安装在上、下夹具之间，通过力传感器和位移传感器测量力的变化和试件长度的伸长。在“力-伸长”坐标系中画出，分别除以截面积和试件长度，得到“应力-应变曲线”。下图显示了低碳钢的拉伸曲线。由于它具有弹性变形、屈服流动、强化和颈缩四种典型的材料变形特征，所以常用来说明材料的变形过程。

低碳钢拉伸曲线(来自网络)

需要强调的是，根据前面对应力应变的定义，用拉伸力除以试样面积，伸长量除以试样长度得到的应力应变实际上有很大问题，主要集中在颈缩阶段。在这个阶段，样本面积急剧减小，但应力求解仍然用拉力除以原来的截面积，导致了一个错误！同样，在拉伸过程中，试件的长度不断增加，但用伸长量除以原长度来求解应变也是错误的。因此，这样得到的应力应变并不是真实的应力应变，而只是名义应力应变，所以称为名义应力、名义应变，大概是为了工程使用方便，也称为工程应力、工程应变。

不幸的是，在材料力学中没有引入真应力和真应变。这部分知识多在材料力学性能中讲解，而材料力学性能多是机械、材料类专业的专业课。机械类专业不开设材料力学性能(主要在我们学校，其他学校不考察)。机械专业以研究“应力与应变”闻名。

1)解决了物体内部应力不均匀的表达问题。无穷小体相当于一个“点”，这里的应力和应变只定义在某一点上，而不是平均应力；

2)消除了结构具体形状的影响，如材料力学中对细长结构的研究，微元可以形成所有形状的结构，也就是说弹性可以解决所有形状的问题；

3)消除不同材料之间的差异。不同材料只有弹性参数不同，没有本质区别。弹性能解决所有材料在弹性范围内的变形问题。

弹性力学中得到的应力应变更纯粹，理论上更完美！

但如果要测量工程中真实的应力应变，无论是材料力学还是弹性力学都没有提供方法，所以只能用材料力学性质提供的公式(2)和(3)进行测试。一门学科能在社会生产实践中得到应用，会得到更广泛的认可，这就是这门学科的成果。

真应力、真应变的概念给人的感觉是力学继承了应力、应变的概念，提供了应力、应变的分析计算方法，但并不能为工程提供一种简单可行的测量真应力、真应变的方法。这可能是很多工程界人士对力学和力学专业不熟悉的原因之一。这就好比力学只关注享受“钓鱼”的过程，而对“鱼”本身漠不关心。

力学要积极与工程结合，为工程服务，使力学结出工程应用的果实。

参考资料:

刘洪文的材料力学

工程力学，北京科技大学，东北大学

徐志伦的弹性力学

王乐妍的材料力学性质