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只要你认真阅读下面的这篇文章，思考文末提出的问题，严格按照 互动：你的答案 格式在评论区留言，就有机会获得奖品！

作者:胡安·马尔达西那

翻译:曹馨予

审校:丹尼斯

目前，用于描述基本力和基本粒子的理论依赖于漂亮的对称性，即规范对称性。这些理论很难描述。普林斯顿高等研究院著名物理学家胡安·胡安·马尔达西那提出了一个很好的类比:他认为空就像是一个个国家的网格，粒子就像是利用不同货币之间的汇率来投机赚钱的旅行者。

电磁学导论

先说电磁力。用电场和磁场来描述。电场和磁场是带电物体产生的，我们可以把它们想象成空(准确的说是空)中所有点都存在的小箭头。

上图显示了条形磁铁的磁力线。这是由磁铁内部的电子产生的。数学上，磁场的大小和方向在所有点上都用小箭头表示。

图为一对正负电荷周围的电场。数学上，电场的大小和方向在所有点上都用小箭头表示。

电磁场会对进入其中的带电物体产生作用，所以我们可以感受到这些场的存在。电场按箭头方向推动带电物体，而磁场只作用于运动的电荷。运动的电荷在磁场中会受到一个垂直于其速度方向的力。如果你是一个电荷，当你走进一个垂直的磁场时，你会感觉到一个力把你推向一边。如果只有磁场的力存在，你会做圆周运动(如下图所示)。

(a)电场沿电场方向对电荷施加一个力。(b)磁场会对运动的电荷施加一个力，这个力的方向垂直于磁场和电荷速度的方向。(c)在磁场中运动的电荷最终会做圆周运动。

电场和磁场有相应的动力学描述。它们之间的连锁振荡产生电磁波。电磁波可以真空传播，包括无线电波、可见光、X射线、伽马射线等。

以上你可能很熟悉。即使你不熟悉，也不要惊慌。下一节课不要求你熟悉电磁方程。你只需要知道电场和磁场，它们可以存在于true 空中。这些场作用于带电粒子并影响它们的运动。电场沿着电场的方向推动带电粒子，带电粒子围绕磁场做圆周运动。

电磁学可以看作是基于规范对称性的规范理论。电磁的规范理论有助于将其推广到其他力，并描述电磁的量子力学版本。为了解释什么是规范对称，我们可以引入一个经济类比。在这个经济类比中，我们会做一些简化和理想化。注意，我们的目标不是解释经济学，而是解释真实的物理世界。好消息是，这个模型比真实的经济学要简单得多。这就是为什么物理学比经济学简单。

经济类比

我们来看看这个经济模型。我们设想:有很多国家，每个国家都有相应的货币。国家分布在一个整齐的网格中(如下所示)。每个国家都通过一座桥与邻国相连。每座桥上都有银行。你必须在银行把你的货币兑换成桥对面国家的货币。

每个圆圈代表一个国家，每个国家都有自己的货币。蓝线代表连接这些国家的桥梁。桥上有一家银行。当你过桥时，你需要兑换所有的钱。每座桥上的银行独立设定汇率。

每座桥上的银行都是独立的，没有权威机构来协调不同货币的汇率。每家银行以任何方式自主设定汇率，没有手续费。

比如你的国家用美元，桥对面的国家用欧元，桥上银行挂牌汇率是1.50美元=1欧元。如果你有15美元，当你去邻国时，你将被兑换成10欧元。如果你再走回去，10欧元会换成15美元。也就是说，如果你去一个邻国旅行后马上回来，你手里的钱数是不会变的。

还有一个规则:你可以一直沿着桥走到邻国，换钱，但是不能直接从一个国家飞到另一个国家。除此之外，你不能携带黄金、白银或者除了钱以外的任何其他物品，然后我们会放宽这个限制，但是现在我们先考虑最简单的情况。

从货币中删除0。

正则对称在哪里？想象一下，一个国家的货币尾数有太多的零，它想去掉它们。当通货膨胀率高时，这种情况经常发生。于是政府宣布，现在1000比索等于1澳大利亚元，相应的商品价格和汇率也发生了变化。以前买一根香蕉要5000比索，现在只要5澳大利亚元。你以前的工资是一百万比索，但是现在是一千比索。

假设邻国是美国，汇率是3000比索=1美元。现在变成了3澳=1美元。这种现象被称为规范对称。因为换了货币单位之后，其实别的什么都没变(没人变富或变穷，你的工资能买的香蕉的数量没变)，只是货币更方便计量了。量具，这个词的本义是测量设备。这里强调的是，只是计量用的单位变了，计量本身没有变。

每个国家都可以改变其货币单位。在这里，原来用比索作为货币的国家把单位改成了南方，1000比索=1南方。商品价格和汇率也会相应变化。图中显示了香蕉价格将如何变化，还列出了与某邻国的汇率变化。当然，所有周边国家的汇率都会随之变化。

如下图，我们可以从阿根廷纸币上看到这种规范性的对称。

现实中的规范对称。阿根廷货币从比索换成了澳大利亚元。

规范的对称性是局部的，因为每个国家都可以独立决定实施这种变化，而不依赖于邻国的决定。一些国家可能比其他国家更频繁地这样做。在现实世界中，阿根廷从20世纪60年代开始，通过这种“规范对称”等一系列运算，消除了13个零。所以，今天的1比索= 60年代的10万亿比索。

如何在这个世界上套利

现在我们来关注一下投机者。投机者就是那些沿着不同路线过桥，以赚钱为目标进行换钱的人。投机者希望遵循能获得最高货币回报的道路。记住，根据我们的规定，他必须沿着不同的桥梁继续前往其他国家。你不能只是坐在办公桌前，在电脑上交易。

你想想:他能赚钱吗？他该怎么办？

乍一看，好像赚不到钱。如果你从一个国家走到它的邻国，然后回来，你的钱一分钱都没变。但是，如果你走另一条路线回来，是有可能赚钱的！

这里有三个国家，每个国家都有不同的货币。汇率写在蓝色的桥上。如果绕绿箭走一圈，手里的钱会是原来的1.5倍，也就是增加了50%。

比如现在有三个地区，分别是美国、欧洲和阿根廷，分别使用美元、欧元和比索。现在我们假设这三个国家之间有一座桥，如上图所示。它们之间的汇率是:

1.50美元= 1欧元

1美元= 10比索

欧元= 10比索

我们在阿根廷从10比索开始。我们去欧洲的时候，身上带了1欧元。如果你再去美国，你身上会有1.5美元。最后，当我回到阿根廷，我会有15比索。我们开始是10比索，但最后是15比索。也就是说，开始的时候，你身上的货币总量x在一个周期后会变成1.5x，这与阿根廷的货币单位无关。即使阿根廷将货币单位改为澳拉尔，最终也要乘以1.5的系数。

你可能认为这是因为银行太傻，定了“错误”的汇率，让投机者有机可乘。这是因为我们一开始就这样设定世界，银行可以随意设定汇率。这有时会导致套利的可能性，有时不会。投机者只遵循最简单的思路:只想着怎么套利，哪条路最能套利。刚才的例子中，投机者会在阿根廷→欧洲→美洲→阿根廷之间循环，如上图绿线所示。

电磁经济学

我们经济模型中的国家类似于物理学中的点或小区域空。磁场的磁势类似于经济模型中货币之间的汇率。投机者对应的是电子或带电粒子。磁场的存在对应着某种可以套利的汇率配置。有磁场时，电子做圆周运动，变得更富。套利的多少取决于磁场。实际上，沿环运动的“套利”数就是穿过环的磁场的流量(简单来说，“流量”就是穿过环的磁力线数)。

如果你熟悉电磁学，这些听起来都很有意义。如果你不熟悉，只要记住这个类比就行了:磁场的存在对应着一个势位形(交换率)，从而使电子更富(“增益”取决于这个区域的磁场)。而这个势会促进电子的运动。

现在，我们假设你是一个负债的投机者。在这种情况下，你会选择像前面提到的那样在反方向的国家之间游走，从而(同比例)让你的债务越来越少。在物理学中，你对应正电子。正电子与电子相似，但电荷相反。在磁场中，正电子以与电子相反的方向做圆周运动。

在现实物理中，我们可以想象套利只是发生在一个很小的距离上，这个距离比我们现在能测量到的最小距离要小得多。当我们观察任何一个物理系统甚至true 空的时候，就好像在这么远的距离上观察这些国家，它们看起来是连续的。如下图所示。电子在true 空中的运动就像是在时间空中从一个点移动到另一个点。从微观的角度来看，电子不断地从一个国家移动到另一个国家，改变货币，并在这个过程中变得富有。在物理学中，我们不确定是否存在像我们描述的国家那样的离散结构。但是我们在计算规范理论的时候，通常会假设一个类似的离散结构，然后在所有国家都很接近的时候取连续极限。)

这里我们展示了不同尺度的“国家电网”。国家从左到右都在缩小。如果它收缩得足够小，我们可以认为它是连续的。

电磁学中的规范对称性与经济学模型中的略有不同，规范对称性是指除以或乘以一个给定的因子。电磁学的“钱”不是用数轴上的数字来描述的，而是用圆上的点来描述的。每一个“国家”(point in instant 空)都会在它对应的圆里选择一个起点——我们称之为它的基点。圆上任意一点p的值由点p、圆心和基点连线所成的角给出。任何国家都可以随时选择旋转自己的圆，从而改变基点的位置。所有带电物体都位于圆圈内的某处。如果基点改变，它们的标称位置也会改变。两个国家的圆的基点可以通过旋转一定的角度重合，国家之间的汇率对应的就是这个角度。

空中的每个点选择圆上的一个基点来测量角度。这个圆的旋转是规范对称的。

我们可以把这些想象成一幅图:小时空中的每个点都有一个小圆圈，对应不同的国家。

电磁相互作用的对称性就像空中的每一点都有一个圆的构型一样。图中黑线的交点代表空之间的点。我们可以认为圆是一个额外的维度。

如果这个小圈子真的存在，那就说明需要一个额外的维度。上图是二维简化模型，但我们对现实的感知空是三维的。如果每个点的小圆不属于三个维度中的任何一个，那么它需要存在于第四个维度空。然而，我们不知道这个圈子是真是假。我们不知道是否真的有额外的维度。我们知道的是，这个理论的对称性类似于第四维。中在物理学中我们总是倾向于尽可能少做假设。“一个额外的维度”是不必要的，只有对称是必要的。这里唯一相关的物理量是磁势，它决定了电荷从一点移动到相邻的时间点空时，在那个小圆内的位置的变化。

在电磁学中，电场和磁场遵循麦克斯韦方程组。在我们的经济模型中，这是对汇率要求的反应。

麦克斯韦方程组

我们可以直观地这样理解这个要求:假设有一个一般的汇率配置，投机者携带资金四处寻找机会，一座桥上有一家银行，投机者会从两个方向过桥。如果更多的投机者从一侧通过，银行将会耗尽一些货币。比如银行把美元和比索联系起来，买美元的人比买比索的人多，银行的美元就用完了。

如果这种情况发生在现实世界中，银行只需要调整汇率，让人们少买美元。如果我们假设投机者沿着某个圆运动，与他们沿着这个圆所能获得的利润成正比，那么我们会发现，银行里的两种货币都不会被耗尽的条件与麦克斯韦方程组是等价的。(此处衍生)

总结一下:电子、正电子等带电粒子可以看作是在国家网格中运动的投机者，电磁场决定了货币之间的汇率。磁场的作用类似于推动电子获利或推动正电子减债，即推动带电粒子循环运动。它们的总收益与磁场有关。整个事件用规范对称来描述:小时空中的每一点都定义了货币单位，改变货币单位没有实际意义。

原始链接:

https://plus.maths.org/content/intro-em

https://plus.maths.org/content/its-economy-stupid

https://plus.maths.org/content/economic-em

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编辑:aki