最早的数学著作(中国古代十部数学著作)

作者|刘建新

摘要:古巴比伦的修辞代数传入古希腊后，希腊人对每个命题进行演绎分析，并给出正确命题的证明。早期代表人物有泰勒斯和毕达哥拉斯学派。古希腊人的数学思维方式也渗透到哲学研究中，比如柏拉图的著作。

一.修辞代数

古埃及人和巴比伦人对数学的兴趣由来已久，并留下了数学的记载。公元前1700年左右的泥板上记录了大量的数学问题。不仅有业务相关的问题，还有抽象的数学计算，比如一元二次方程的求解，或者面积和体积的计算。可以说巴比伦人在数学上超过了埃及人，但是在面积和体积的计算上还是有大量的错误。这和他们表达数学的方式有关系。

图1板书

巴比伦人用文字描述数学问题，也用文字表达解题过程。这种数学表达方式被称为“修辞代数”。

例如，在巴比伦泥板BM13901中，有24个类似的数学问题。其中之一是:正方形的边长加上它的面积等于3/4。求它的边长。这相当于解一元二次方程。但在板书中，解决这个问题的步骤晦涩难懂:“把1分成两半，1/2乘以1/2得1/4，1/4加3/4得1的平方。1减去1/2得到1/2。这是边的长度。”

总的来说，巴比伦修辞代数有许多局限性:1 .只有解决问题的步骤，却没有正确性的验证；2.不利于思考；3.不利于读者阅读，难以传播。这些都导致修辞代数出现大量错误。

第二，从修辞代数到演绎数学

希腊早期数学的原始资料很少，最早的是柏拉图和亚里士多德的著作。然后是公元后作者对早期希腊数学的描述。从《几何原本》和其他一些著作来看，公元前300年左右，古希腊人和巴比伦人在数学上有显著的差异。古巴比伦人的修辞代数只有解题的步骤。古希腊人擅长演绎证明，研究对象主要是几何。

古希腊和古巴比伦之间是否有数学交流，证据不是很充分。但一些历史学家认为，巴比伦数学可能是在商业活动中传入古希腊的。例如，希罗多斯认为一天12小时制来自巴比伦。

巴比伦修辞代数传入古希腊时，自然伴随着大量的错误和许多困难的解题步骤。所以古希腊人需要验证公认的数学知识的正确性，他们需要找出结果背后的真相。于是演绎数学研究方法应运而生。

三、古希腊的泰勒斯

泰勒斯(约公元前624-548年)是早期希腊的一位重要几何学家。通常，泰勒斯被认为证明了许多几何命题。

2个监护

包括:1。圆的直径把圆分成两个全等的部分；2.等腰三角形的两个底角相等；3.半圆对着的圆周角是直角，等等。第一个命题很有意思。一种可能的证明是使用反证法。假设某一直径两侧的圆的部分不相等，如果沿该直径对折，则两侧的圆不重合。但这样一来，必然有两个不相等的半径。矛盾！

在泰勒斯的时代，数学家们试图证明各种命题。每一个看似显而易见的命题都需要用更清晰的方式进行分析，提取更多的基本假设。逐渐形成系统的演绎体系。

四。毕达哥拉斯学派

著名的毕达哥拉斯学派是一个带有宗教色彩的学派。他们相信数学，他们的信条是:万物皆有数。但是，他们理解的数不是任意的实数，而是正整数和正整数的比值。西方的毕达哥拉斯定理归功于这个学派，它被称为毕达哥拉斯定理。传说他们发现勾股定理的证明时，杀了几百头牛庆祝。

图3平方数

图4三角形的数量

毕达哥拉斯学派有“形数”的概念，如正方形数、三角形数等。，如上图。历史学家推测，他们可能用与形数有关的几何方法证明了勾股定理。如下图。直角三角形的边分别是b，b+d。斜边为边长的正方形面积等于第一个图形中间小正方形的面积，加上四个三角形的面积，所以等于。第三张图，面积再拼凑一下，可以看出等于一个小正方形的面积加上一个边长为另一个直角边长的正方形的面积。

图5 勾股定理的证明。图的勾股定理的证明。

这个学派的另一个数学成就是发现了无理数。这所学校的一些人发现正方形的边长与对角线不相称。他们的证明大概是几何的。如图6所示，假设DB和DH是可公度的。假设DB和DH都是整数，同时不是偶数。因为AGEF正方形的面积是DBHI正方形的两倍，所以AG=DH是偶数。所以AGEF是4的倍数，所以DBHI是2的倍数。所以DB是偶数。矛盾！

图6根号2的无理数证明

当他们发现这是不合理的，他们非常震惊，因为这违背了他们的信条。后来欧多克索斯提出了比例理论，在一定程度上缓解了人们对无理数的困惑。

修辞代数有很多缺点，很多面积和体积的公式都是错误的。古希腊人发展演绎数学是为了研究数学，克服修辞代数的缺点。泰勒斯和毕达哥拉斯是早期演绎数学的例子。

五.柏拉图和数学

希腊人逐渐建立了演绎数学体系。他们的演绎方法不仅用于研究数学，而且成为研究世界的方法和哲学家寻求真理的方法。

柏拉图多次强调数学的重要性，他的著作中也渗透了演绎数学的思维方式。在柏拉图的雅典学院门前，写着“不懂几何的学者，不得入内”，蕴含着柏拉图深邃的思想。那时候，数学和几何几乎是同义词。在雅典学院的学习和研究不仅限于几何，更多的是哲学和政治。但在柏拉图看来，几何的训练使人有更严谨的思维，几何的直觉有助于人们研究哲学和政治中的真理。

图7雅典学院

在柏拉图的《理想国》中，世界是分裂的。能感觉到的世界一定是在变化的，这叫“可感世界”；世界上不变的部分一定是观念的一部分，叫做“观念的世界”。它们是永恒而神圣的。理念的世界更本质，而感性的世界只是对理念世界的模仿。它是数学思想世界的一部分，数学是通向善的桥梁。很多对柏拉图的世界和城邦的描述就像是用数学模型和演绎数学。比如洞穴隐喻，城邦分三类的模式等等。，都体现了数学思维。

古希腊人逐渐形成了演绎数学。他们从颠扑不破的假设中得到关于数学和世界的真理，通过严谨的证明，从而真正把握事物的本质。

参考

空间的概念:欧几里德，非欧几里德和相对论[M]。(第二版)。牛津:克拉伦登出版社。1989.

J.福韦尔和J .格雷(编辑)(1987年)。数学史-读者[M]。伦敦麦克米伦。

柏拉图。共和国。郭滨河张译。北京商务印书馆1986年。

作者简介

刘建新，科学技术史博士，信阳师范学院教师教育学院数学教师。他的主要研究方向是微分几何史和19世纪上半叶非欧洲几何史。