素数是什么意思(素数怎么理解)

愚人节期间，和往年一样，我们贴了一篇愚人节恶作剧文章《素数公式发现所有数学谜团即将解开》。没想到大家都和我们玩得很开心。这真是一个快乐的愚人节。

在本文中，我们写出下面的公式，并说它是第n个素数p(n)的表达式:

文章还解释了方括号[x]是取整函数，P！表示阶乘并指定0！= 1。

欢乐归欢乐，因为愚人节，很少有人注意到我们贴的公式正确与否。

在这里，我们多塔数学网的主编说，如果仅仅从方程两端是否相等的角度来看，那绝对是一个货真价实的素数公式，“珍珠”并没有那么真实。整篇文章，也许这个公式是可靠的。

其实这个公式已经被写进了很多通俗的数学书里，很容易解释。

奇怪的是，按照普通人的标准课程，我们大多数人都把重点放在小学学习数学中的数论知识。初中和高中，除了一些竞赛需要，我几乎不学数论。在大学里，只有一些专业的学生学习初等数论。

在初等数论中，有很多有趣的知识，类似于计数，这是我们讲解这个公式的重点。

公式有两个“偶数加号”σ，这是我们解释的重点。

素数的π(x)函数

给定一个整数x，我们把不超过x的素数的个数表示为函数π(x)。比如有三个不超过6的素数:2，3，5，那么π(6) = 3。不超过11的素数有5个:2，3，5，7，11，所以π(11) = 5。

这样就很容易看出，如果是第N个素数p(n)，π(p(n)) = n，当π (x) < N(即π (x) ≤ n-1)时x < P(n)，当x ≥ p (n)时π(x) ≥ n。

这个时候π(x)只是一个计数游戏。我们需要把它表达成只有加减乘除的东西。

用威尔逊定理表示π(x)函数。

学过初等数论的同学都知道一个叫威尔逊定理的命题:

p是素数或1，当且仅当(p-1)！+1是p的倍数，不止于此，当p是大于4的合数时(p-1)！或者是p的倍数。

有了这个，我们就可以分析分母和加号了。

让我们看看带加号的分母的内部:

这里，当k=1时，上述公式的值为1。

根据威尔逊定理，当k为合数时，[(k-1)！/k]是整数，所以可以去掉方括号。上面公式的值其实是[1/k]。对于正整数，该值为0。

当k是质数时，(k-1)！/k = ((k-1)！+1)/k-1/k，所以通过对右边的方括号做一些简单的修改，可以得到整个公式的值为1。

所以，当连加号K从1跑到J的时候，其实就是一堆1和一堆0的和。k为质数或1时为1，为合数时为0。这几个加起来刚好是不超过j加1的素数的个数，也就是1+π(j)。

伯特兰-切比雪夫定理、π(x)和素数公式

我们将开头的公式改写为:

看加号里面根号下面的部分，

这是一个关于j的递减公式，重点是j = p(n)。当j ≥ p(n)，π(j) ≥ n时，分子小于分母，四舍五入后为零。

相反，当j

好了，我们都知道n的开根号不小于1且严格小于2。利用这一点，我们可以得到以下结论:

当j

所以当连加号的J都是从1开始的时候，其实就是连续的1的相加，然后所有的0加起来就是p(n)。刚刚跑了p(n)-1 1。

至于为什么目的地是2的n次方，这是因为

Bertrand-Chebyshev定理:对于所有正整数n，n和2n之间一定有一个素数。

利用这个定理，可以得出第n个素数p(n)不会超过2的n次方。

所以最好的配方奶粉出炉了。

愚人节文章还给出另一个公式，其实就是换汤不换药。

一点经验

好了，关于这个公式你想说什么？太复杂？因为里面有阶乘！假装？这和一个一个有什么区别？

也许所有的理由都是对的！这些原因可能就是为什么即使看起来把素数写成“简单公式”也无助于解决素数相关问题的原因。

但它确实是一个正确的公式，或许可以算是“正确废话”的素数公式版本。

不过，有些第一次看到这个公式的读者也觉得有点意思——可以拿去继续骗人了！

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