无理数概念(无理数的概念是什么意思)

无理数的发现与不可公度线段、面积计算、方程求解有关。虽然人们很早就发现了无理数，但在相当长的一段时间内，人们无法对无理数给出合理的解释，也很难给出明确的符号表达。实际上，实数理论的建立要晚于微积分的出现。

人们总是习惯于借助已有的概念来描绘新事物，却遇到了“无理数”这样一个难题。虽然人们很早以前就发现了无理数的存在，但却无法给出合理的解释，也很难给出明确的符号表达，所以把这样的数称为无理数，是无理数。这里先讨论一下人们是如何发现无理数的，从中感受到无理数的本质特征。

1.边长和对角线的不相称

毕达哥拉斯学派发现，边长为1的正方形的对角线和边长是不可公度的，即不能表示为整数之间的比例关系。这一发现是基于一个表达直角三角形三条边长之间关系的定理。在中国，这个定理叫勾股定理，在西方，这个定理叫勾股定理。这个定理的一般表达式是:设直角三角形的两个直角边和一个斜边的边长分别为a，b，C，则有

a2+b2=c2

根据定理，如果两个直角的长度a=1，b =1，那么斜边的长度c=√2，但√2不能表示为两个整数之比。

假设√2可以表示为两个整数的比值，即√2=a/b，其中a和b都是整数，没有公因数。那么a2=2b2，所以a2是偶数，因为只有偶数的平方才能是偶数(任何奇数都可以表示为2n+1，从(2n+1)2=4n2+4n+1，奇数的平方一定是奇数)，所有的A都是偶数。因为a和b没有公因数，如果a是偶数，那么b一定是奇数。因为a是偶数，设a=2c，其中c是整数。那么a2=4c2，那么4c2=2b2，也就是2c2=b2，那么b2是偶数，b是偶数。b不可能既是奇数又是偶数。所以假设不成立，即√2不能表示为两个整数的比值。

因为古希腊人认为一切事物都可以用整数或者整数的比例来衡量，√2与这种思想相悖，所以无法理解。所以古希腊的学者大多放弃了对算术的研究，热衷于研究几何。

二。圆周率

很早就知道，圆的周长是2πr，面积是πr2，其中r是圆的半径，π是圆周率。但是π的计算非常困难，人们希望用一个共同的度来近似π。因为尼罗河的洪水，为了调整被淹没的土地，古埃及人掌握了土地面积测量和计算的技术，他们对圆形面积给出了很好的近似，莱茵兰纸莎草纸。

第50题说直径为9的圆形陆地面积等于边长为8的正方形陆地面积。如果用面积公式:82≈π*(9/2)2，可以得到π的平方约等于16/9，即256/81=3.1605，这是在公元前1700年左右得到的。当然，仅此一点，我们很难确定当时的古埃及人是否已经确立了圆周率的概念。对于π的近似计算，古希腊物理学家、数学家阿基米德在22/7到223/71之间得到，祖冲之在22/7到355/113之间得到，其中22/7是通过计算一个圆内正96边多边形的周长得到的，355/113被称为秘法，也叫祖宗法。

三。面积和无理数

我们常用的求三角形面积的公式需要知道三角形的高度，但是古希腊数学家海伦在他的著作《测量》中给出了一个只取决于边长的公式:对于任意一个三角形，设三个边长为A、b、C，设S为三角形周长的一半，即s=(a+b+c)/2，那么三角形的面积为√ S (S-A)(显然，这个数往往是无理数。

四。方程和无理数

古希腊代数的高峰是在丢番图时代。他的一个重要贡献是将符号引入代数，甚至是相当于现在的1/x和x的3次方以上的形式，在当时这是一个极其抽象的符号，因为古代人认为二次方是正方形，三次方是立方体，都有特定的几何背景。三次方没有具体的几何背景，因此毫无意义。范图知道一元二次方程有两个根，但不知道怎么处理。所以，当两个根都是有理数时，他取较大的一个；当根是无理数或虚数时，他认为方程是无解的。这样，毕达哥拉斯的发现在这里就是一个特例，因为√2是方程x2-2=0的一个根。

范图最感兴趣的问题是方程的根是不是正整数。他在《算术》一书中写了许多重要的结果。现在，人们把求方程整数解的问题称为丢番图问题。然而，丢番图万万没想到的是，他的《算术》一书引发了一个著名的猜想，就是费马大定理。费马大定理与勾股定理密切相关。勾股定理a2+b2=c2中，a、b、C三个数可以同时是整数，比如a=3，b=4，c=5。然而，费马猜想，正方形的情况是特殊的。对于一般方程an+bn=cn，当n≥3时，不会有同时使a、b、C为整数的解。费马在《算术》一书第8题的空白处写下了这个问题:

“不可能把一个立方数写成两个立方数之和；或者把一个4次方写成两个4次方之和；或者说，一般情况下，不可能把高于2倍的幂写成同次幂的两次幂之和”

问题很简洁，但证明很难。经过三个世纪和几个代数的努力，这个问题在1993年被在普林斯顿教书的英国数学家怀尔斯解决了。这篇130页的论文发表于1995年。